12. Sınıf Açısal Momentum — Konu Anlatımı

Taburede Kollar Açılınca

Sürtünmesi az bir döner taburede oturan öğrenci, iki elinde birer dambıl tutarak kollarını yanlara açmış ve saniyede yaklaşık üçte bir tur dönüyor ($\omega = 2$ rad/s). Bu durumda öğrenci, dambıllar ve taburenin toplam eylemsizlik momenti 6 kg·m². Kollarını göğsüne çekince eylemsizlik momenti 2 kg·m²'ye iniyor. Ne olur?

Dönme hareketinin hareket miktarına açısal momentum denir:

$L = I\omega \qquad \text{birim: kg·m²/s}$

Başta $L = 6 \cdot 2 = 12$ kg·m²/s. Öğrenciye dışarıdan tork uygulayan kimse yok; açısal momentum korunur: $2 \cdot \omega_2 = 12$, yani $\omega_2 = 6$ rad/s. Dönüş üç kat hızlanır. Kollarını yeniden açarsa $I$ büyür ve dönüş yavaşlar.

Noktasal Cisim İçin: L = mvr

Tek bir küçük cisim bir eksen çevresinde dönüyorsa $I = mr^2$ ve $\omega = v/r$ yazılır; çarpınca:

$L = mvr$

Buradaki $r$, eksenin hız doğrultusuna olan dik uzaklığıdır. Çekiç atan bir sporcuyu düşünün: 7,26 kg'lık çekiç, yaklaşık 1,8 m yarıçaplı bir çemberde 25 m/s ile dönüyorsa $L = 7{,}26 \cdot 25 \cdot 1{,}8 \approx 327$ kg·m²/s.

Açısal momentum vektördür. Yönü sağ el kuralıyla bulunur: sağ elin parmakları dönme yönünde kıvrılınca başparmak $L$'nin yönünü gösterir. Yukarıdan bakınca saat yönünün tersine dönen bir topacın $L$'si yukarı bakar. Topacın dönerken devrilmemesi, jiroskopun yönünü koruması bu vektörün yönünü değiştirmenin tork gerektirmesinden gelir.

Açısal Momentumu Ne Değiştirir?

Ötelemede $F = \Delta p / \Delta t$ idi; dönmede karşılığı:

$\tau = \dfrac{\Delta L}{\Delta t}$

Açısal momentumu yalnız net dış tork değiştirir. Eylemsizlik momenti 0,02 kg·m² olan bir taşlama diski 300 rad/s ile dönüyor: $L = 6$ kg·m²/s. Kapatıldıktan sonra 12 s'de durursa ortalama sürtünme torku $6 / 12 = 0{,}5$ N·m'dir.

Buradan korunum koşulu çıkar: net dış tork sıfırsa $L$ korunur, $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$.

Sık yapılan hata: Koşulu "net dış kuvvet sıfır" diye yazmak. Güneş'in çevresindeki Dünya'ya çok büyük bir dış kuvvet etkir, bu yüzden Dünya'nın çizgisel momentumu sürekli değişir. Ama bu kuvvet Güneş'ten geçtiği için Güneş'e göre torku sıfırdır; açısal momentumu korunur.

Dünya Ocakta Neden Daha Hızlı?

Dünya Güneş'e en yakın noktasından (yaklaşık 147 milyon km, ocak başı) 30,3 km/s ile geçer. En uzak noktasında (yaklaşık 152 milyon km, temmuz başı) hızı ne olur? İki noktada da hız yarıçapa diktir, $mvr$ korunur:

$v_2 = v_1 \cdot \dfrac{r_1}{r_2} = 30{,}3 \cdot \dfrac{147}{152} \approx 29{,}3 \text{ km/s}$

Kepler'in "eşit sürelerde eşit alanlar" yasası bu korunumun geometrik ifadesidir.

Dönen diske disk düşürmek: Eylemsizlik momenti 2 kg·m² olan disk 10 rad/s ile dönerken, üstüne aynı eksende duran 3 kg·m²'lik ikinci bir disk bırakılıyor. Sürtünme ikisini birlikte döndürene kadar yalnız iç tork etkir: $2 \cdot 10 = (2 + 3) \cdot \omega$, buradan $\omega = 4$ rad/s.

Aynı korunum yıldızlarda da iş başındadır. Dönen bir yıldızın çekirdeği kendi çekimiyle çökerse yarıçapı küçülür; yarıçap 100 kat küçülürse $I \propto R^2$ olduğu için eylemsizlik momenti 10 000 kat küçülür ve (kütle kaybı ihmal edilirse) dönüş 10 000 kat hızlanır. Saniyede onlarca, hatta yüzlerce tur atan nötron yıldızları (pulsarlar) bu yüzden vardır.

Korunan L, Değişen Enerji

Açısal momentum korunuyor diye dönme kinetik enerjisi korunmaz. $E_k = \tfrac{1}{2}I\omega^2 = \dfrac{L^2}{2I}$ yazılabilir; $L$ sabitken $I$ değişirse enerji de değişir. İki örneğimiz iki yönü de gösteriyor:

• Tabure: önce $\tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2^2 = 12$ J, sonra $\tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6^2 = 36$ J. Enerji arttı; fark, öğrencinin kollarını içeri çekerken kaslarıyla yaptığı iştir.
• Diskler: önce $\tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 100 = 100$ J, sonra $\tfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 16 = 40$ J. Enerji azaldı; 60 J, diskler arasındaki sürtünmeyle ısıya dönüştü.

Mini soru: Helikopterin kuyruk pervanesi olmasa ne olurdu? Motor ana pervaneyi bir yöne döndürürken gövdeye ters yönde tork uygular; gövde ters yöne dönmeye başlar. Kuyruk pervanesi bu torku dengeler. Uydular da benzer ilkeyle, içlerindeki tepki tekerleklerini döndürerek yakıt harcamadan yön değiştirir.

Sınav ipucu: Açısal momentum sorusunda önce "dış tork var mı?" diye sorun. Yoksa $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$ yazın; enerji soruluyorsa $L^2/2I$ ile ayrıca hesaplayın.

Sık sorulanlar