12. Sınıf Açısal Momentumun Korunumu — Konu Anlatımı

Döner Sandalyede İki Halter

Laboratuvarda sık yapılan bir deneyle başlayalım. Bir öğrenci sürtünmesi az, döner bir sandalyeye oturuyor; iki elinde birer halter var ve kollarını yana açmış. Arkadaşı onu yavaşça döndürüp bırakıyor. Öğrenci kollarını göğsüne çektiği anda sandalye belirgin biçimde hızlanıyor; kollarını yeniden açınca yavaşlıyor.

Kimse sandalyeyi itmedi. Hız nereden geldi? Cevap, dönen sistemin açısal momentumunun ($L = I\omega$) değişmemesinde. Halterler içeri gelince kütle eksene yaklaşır, eylemsizlik momenti $I$ küçülür; çarpım sabit kalacaksa açısal hız $\omega$ büyümek zorundadır.

Sayı koyalım. Kolların açık olduğu durumda sistemin eylemsizlik momenti $I_1 = 6$ kg·m², açısal hızı $\omega_1 = 2$ rad/s olsun. Kollar toplanınca $I_2 = 2$ kg·m² oluyor.

$I_1\omega_1 = I_2\omega_2 \Rightarrow 6 \cdot 2 = 2 \cdot \omega_2 \Rightarrow \omega_2 = 6$ rad/s

Eylemsizlik momenti üçte bire indi, açısal hız üç katına çıktı.

Peki Enerji de Korundu mu?

Aynı deneyde dönme kinetik enerjisini hesaplayalım: $E_k = \frac{1}{2}I\omega^2$.

• Önce: $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2^2 = 12$ J
• Sonra: $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6^2 = 36$ J

Enerji üç katına çıktı. Korunum yasası çiğnenmedi mi? Hayır: aradaki 24 J'ü öğrencinin kasları sağladı. Dönen bir cisimde halteri içeri çekmek için merkezcil yönde kuvvet uygulamak ve bu kuvvetle yol almak gerekir; yani öğrenci iş yaptı.

Sık yapılan hata: "Açısal momentum korunuyorsa dönme kinetik enerjisi de korunur" demek. İkisini bağlayan bağıntı $E_k = \dfrac{L^2}{2I}$'dır. $L$ sabitken $I$ üçte bire inerse enerji üç katına çıkar. Tersine, kollar açılınca enerji azalır; fazlası öğrencinin kaslarında ısıya döner.

Korunumun Tek Şartı: Net Dış Tork

Newton'ın ikinci yasasının dönme karşılığı şudur:

$\tau_{\text{net}} = \dfrac{\Delta L}{\Delta t}$

Net dış tork sıfırsa $\Delta L = 0$ olur ve açısal momentum hem büyüklük hem yön olarak korunur. Tork varsa açısal momentum tam da torkun büyüklüğü kadar hızla değişir.

Örnek: Açısal momentumu 600 kg·m²/s olan bir atlıkarınca, dönüşe zıt yönde 20 N·m'lik fren torkuyla yavaşlatılıyor. Kaç saniyede durur?

$\Delta t = \dfrac{\Delta L}{\tau} = \dfrac{600}{20} = 30$ s

Burada iki korunum yasasını ayırmak gerekir:

• Çizgisel momentum ($p = mv$) net dış kuvvet sıfırsa korunur.
• Açısal momentum ($L = I\omega$) net dış tork sıfırsa korunur.

Güneş çevresindeki bir gezegeni düşünün. Üzerinde çekim kuvveti var; bu yüzden çizgisel momentumu korunmaz, yönü sürekli değişir. Ama bu kuvvetin doğrultusu hep Güneş'ten geçer. Moment kolu sıfır olduğu için tork da sıfırdır ve gezegenin Güneş'e göre açısal momentumu korunur. Doğrultusu hep aynı merkezden geçen böyle kuvvetlere merkezî kuvvet denir.

Çözümlü Örnek: Atlıkarıncaya Atlayan Çocuk

Yarıçapı 2 m, eylemsizlik momenti 400 kg·m² olan bir oyun parkı atlıkarıncası sürtünmesiz ekseni çevresinde 1,5 rad/s ile dönüyor. Kütlesi 50 kg olan bir çocuk yerden koşarak değil, yarıçap doğrultusunda atlayıp kenara tutunuyor. Çocuğu nokta kütle sayın.

1. Atladıktan sonraki açısal hız. Çocuk dönme yönünde hız getirmediği için atlamadan önce sisteme açısal momentum katmıyor.

$L = 400 \cdot 1{,}5 = 600$ kg·m²/s

Çocuğun eylemsizlik momenti $mr^2 = 50 \cdot 2^2 = 200$ kg·m². Yeni toplam $I = 600$ kg·m².

$\omega' = \dfrac{600}{600} = 1$ rad/s

2. Enerji ne oldu? Önce $\frac{1}{2} \cdot 400 \cdot 1{,}5^2 = 450$ J, sonra $\frac{1}{2} \cdot 600 \cdot 1^2 = 300$ J. Aradaki 150 J, çocuğun ayaklarıyla platform arasındaki kayma ve tutunma sırasında ısıya döndü. Bu durum çizgisel momentumdaki esnek olmayan çarpışmanın dönme hâlidir.

3. Çocuk merkeze yürürse? Merkezde $r = 0$ olduğundan çocuğun katkısı sıfıra iner; $I$ yeniden 400 kg·m² olur ve $\omega = \frac{600}{400} = 1{,}5$ rad/s. Atlıkarınca ilk hızına döner. Bu kez enerji 300 J'den 450 J'e çıkar; farkı, içeri doğru yürürken çocuğun bacakları sağlar.

Mini soru: Çocuk kenara değil, merkeze 1 m uzaklıktaki bir tutamağa atlasaydı yeni açısal hız ne olurdu? (Cevap: $I = 400 + 50 \cdot 1^2 = 450$, $\omega = \frac{600}{450} \approx 1{,}33$ rad/s.)

Uç Bir Örnek: Nötron Yıldızı

Kütlesi değişmeden yarıçapı 1000 kat küçülen düzgün bir küre düşünelim. Küre için $I \propto R^2$ olduğundan eylemsizlik momenti $10^6$ kat küçülür, açısal hız $10^6$ kat büyür. Dönme periyodu 12 gün (yaklaşık $1{,}04 \times 10^6$ s) olan bir yıldız çekirdeği böyle çökse yeni periyot yaklaşık 1 s olurdu. Gerçek nötron yıldızlarının saniyede bir ile birkaç yüz tur arasında dönmesinin kaynağı budur. Hesap kaba bir modeldir ama ölçeği doğru verir.

Açısal momentumun vektör olması da günlük hayatta işe yarar. Hızlı dönen bir bisiklet tekerleği ya da jiroskop, dış tork almadıkça dönme ekseninin yönünü korur. Uçaklardaki jiroskoplu yön göstergeleri bunun için kullanılır. Kuyruk pervanesi arızalanan helikopterin gövdesinin ana pervaneye ters yönde dönmeye başlaması da aynı yasanın sonucudur: motor pervaneyi bir yöne çevirirken gövdeye eşit ve zıt tork uygular.

Karıştırılan Noktalar ve AYT İpucu

• Korunum şartını "net dış kuvvet sıfır" diye yazmak. Doğrusu net dış torkun sıfır olmasıdır; gezegen örneğinde kuvvet var, tork yok.
• Kedinin havada dönüp ayakları üstüne düşmesini korunumun ihlali sanmak. Kedi gövdesinin ön ve arka yarısını farklı eylemsizlik momentleriyle zıt yönlere çevirir; toplam $L$ sıfırda kalır, yalnız yönelimi değişir.
• Deneyde yatak sürtünmesini unutmak. Sürtünme küçük bir dış tork üretir; ölçülen $\omega$ zamanla bu yüzden azalır.

AYT ipucu: Soruda "kollarını topladı", "merkeze doğru yürüdü", "üzerine kum döküldü" gibi ifadeler görürseniz ilk yazacağınız satır $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$'dir. Ardından enerji soruluyorsa $E_k = \frac{L^2}{2I}$ ile gidin; $L$ sabitken enerji $I$ ile ters orantılıdır.

Sık sorulanlar