12. Sınıf Basit Harmonik Hareket — 12. Sınıf Fizik Konu Anlatımı — Konu Anlatımı

Dedenizin Saatini Ay'a Götürmek

Eski sarkaçlı duvar saatlerinin çoğunda sarkaç her salınımı 1 saniyede tamamlar; bir gidiş bir dönüş, yani bir periyot, 2 saniyedir. Bu saati Ay'a götürsek doğru gösterir mi?

İpe asılı bir kütlenin, yani basit sarkacın periyodu:

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$

Dünya'da $g = 9{,}8$ m/s² için 2 saniyelik periyot $l = gT^2/4\pi^2 \approx 0{,}99$ m uzunluğunda ip ister. Ay'da $g = 1{,}62$ m/s²:

$T_{Ay} = 2 \cdot \sqrt{\dfrac{9{,}8}{1{,}62}} \approx 2 \cdot 2{,}46 \approx 4{,}9 \text{ s}$

Saat Ay'da her gerçek dakikada yalnız yaklaşık 24 saniye ilerletir; ciddi biçimde geri kalır. Ya kurmalı kol saati? Onun içinde sarkaç değil, bir yayın salınımı vardır:

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$

Bu bağıntıda $g$ yok. Kurmalı saatin yayı Ay'da da, uzay istasyonunda da aynı periyotla salınır. Konunun en çok sorulan ayrımı bu iki satırdadır.

Neye Bağlı, Neye Bağlı Değil?

• Basit sarkaç: ip boyuna ve $g$'ye bağlı; kütleye ve (küçük açılarda) genliğe bağlı değil.
• Yaylı sistem: kütleye ve yay sabitine bağlı; $g$'ye ve genliğe bağlı değil.

Peki sarkaçta kütle neden yok? Kütle iki katına çıkınca geri çağırıcı kuvvet (ağırlığın bileşeni) iki katına çıkar, ama hızlandırılacak eylemsizlik de iki katına çıkar. İki etki birbirini götürür. Yayda ise geri çağırıcı kuvveti yay belirler, kütle yalnız eylemsizliği artırır.

Çözümlü örnek: Yay sabiti 20 N/m olan yaya 0,8 kg asılıyor.

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}8}{20}} = 2\pi \cdot 0{,}2 \approx 1{,}26 \text{ s}$

Kütle 4 katına (3,2 kg) çıkarılırsa periyot $\sqrt{4} = 2$ katına, 2,51 s'ye çıkar. İpli sarkaçta da durum benzer: ip boyu 4 katına çıkarsa periyot 2 katına çıkar.

Sık yapılan hata: Ağır topun sarkaçta daha yavaş salındığını sanmak ve "Ay'da her şey yavaşlar" diyerek yay sarkacının da periyodunu büyütmek. İkisi de yanlış; bağıntıda olmayan büyüklük periyodu değiştirmez.

Grafikten g Ölçmek

Laboratuvarda $g$ sarkaçla ölçülür. Farklı ip boylarıyla periyot ölçülür ve $T^2$, $l$'ye karşı çizilir. $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{g}\,l$ olduğu için grafik orijinden geçen bir doğrudur ve eğimi $4\pi^2/g$'dir. 0,5 m'lik iple 1,42 s ölçen öğrenci $g = 4\pi^2 \cdot 0{,}5 / 1{,}42^2 \approx 9{,}79$ m/s² bulur. $T$'yi doğrudan $l$'ye karşı çizseydi eğri elde ederdi; doğru elde etmek için kare almak gerekir.

Asansörde Sarkaç

Asansör yukarı doğru 2 m/s² ivmeyle hızlanıyor. İçindeki 1 m'lik sarkaç için yer çekimi ivmesi sanki büyümüştür: $g_{etkin} = g + a = 10 + 2 = 12$ m/s².

$T_0 = 2\pi\sqrt{1/10} \approx 1{,}99 \text{ s} \quad \rightarrow \quad T = 2\pi\sqrt{1/12} \approx 1{,}81 \text{ s}$

Sarkaç hızlanır. Asansör aşağı doğru hızlanırsa $g_{etkin} = g - a$ olur ve sarkaç yavaşlar. Sınır durum: halat koparsa asansör serbest düşer, $g_{etkin} = 0$ olur ve sarkaç hiç salınmaz; bırakıldığı açıda kalır. Aynı asansördeki yay sarkacının periyodu bu üç durumun hiçbirinde değişmez.

İki Yay: Yan Yana mı Uç Uca mı?

Yay sabiti 100 N/m olan iki özdeş yay var.

• Paralel (yan yana, yükü birlikte taşıyor): $k_{eş} = k_1 + k_2 = 200$ N/m. Sistem sertleşir.
• Seri (uç uca): $\dfrac{1}{k_{eş}} = \dfrac{1}{k_1} + \dfrac{1}{k_2}$, buradan $k_{eş} = 50$ N/m. Sistem yumuşar.

2 kg'lık cisim paralel yaylarda $T = 2\pi\sqrt{2/200} \approx 0{,}63$ s, seri yaylarda $T = 2\pi\sqrt{2/50} \approx 1{,}26$ s periyotla salınır. Eşdeğer yay sabiti 4 kat değişti, periyot 2 kat.

Enerji Grafiği ve Rezonans

Genliği $A$ olan salınımda toplam enerji $E = \tfrac{1}{2}kA^2$ sabittir. Potansiyel enerji $\tfrac{1}{2}kx^2$ konuma karşı bir paraboldür; kinetik enerji ters çevrilmiş paraboldür; toplamları yatay bir doğrudur. İki eğri $x = A/\sqrt{2} \approx 0{,}71A$'da kesişir: enerji orada yarı yarıya paylaşılır.

Mini soru: $x = A/2$ iken kinetik enerji toplamın ne kadarıdır? Potansiyel $\tfrac{1}{2}k(A/2)^2 = E/4$, kinetik $3E/4$. Yolun yarısında enerjinin dörtte üçü kinetiktir.

Her salınan sistemin kendi doğal periyodu vardır. Dışarıdan gelen itme aynı periyotla tekrarlanırsa genlik her seferinde büyür: rezonans. Salıncaktaki çocuğu her geri gelişinde itmek bunun en bildik örneğidir; rastgele zamanlarda itseniz salıncak büyümez. Binalar da salınır; kaba bir kuralla her kat için yaklaşık 0,1 s, yani 10 katlı bir bina için 1 s civarı. Zeminin deprem sırasındaki baskın periyodu bu değere yakınsa bina çok daha fazla sallanır; mühendisler bu yüzden iki periyodu birbirinden uzaklaştırmaya çalışır.

Sınav ipucu: "Periyot değişmez" şıkkı olan sorularda, değişen büyüklüğün bağıntıda olup olmadığına bakın. Sarkaçta $m$ ve genlik, yayda $g$ ve genlik yoktur.

Sık sorulanlar