Sıkma Programında Bir Su Damlası
Çamaşır makinesi "1200 devir" programında. Bu, tamburun dakikada 1200 tur attığı anlamına geliyor; yarıçap 25 cm. Tamburun iç yüzeyindeki su damlası ne kadar hızlı gidiyor?
Önce saniyeye çevirelim: dakikada 1200 tur, saniyede $1200/60 = 20$ tur. Bu sayı frekanstır: $f = 20$ Hz. Tek turun süresi, yani periyot, $T = 1/f = 0{,}05$ s.
Bir turda damla çemberin çevresi kadar yol alır:
$v = \dfrac{2\pi r}{T} = \dfrac{2\pi \cdot 0{,}25}{0{,}05} \approx 31{,}4 \text{ m/s}$
Saatte 113 km. Tamburdaki her nokta aynı sürede bir tur attığı için açısal hız herkes için aynıdır:
$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f \approx 125{,}7 \text{ rad/s} \qquad v = \omega r$
Hız Sabit, İvme Sıfır Değil
Damlanın hızının büyüklüğü, yani sürati, sabit. O hâlde ivmesi sıfır mı? Hayır. Hız bir vektördür ve yönü her an değişiyor: teğet doğrultusunda, çembere dokunarak dönüyor. Yön değiştiren hız, ivme demektir. Söz konusu ivme her an merkeze bakar ve adı merkezcil ivmedir:
$a_m = \dfrac{v^2}{r} = \omega^2 r$
Damla için: $a_m = 31{,}4^2 / 0{,}25 \approx 3950$ m/s². Yer çekimi ivmesinin yaklaşık 400 katı. 10 g'lık bir damlayı çemberde tutmak için gereken kuvvet $F = m a_m = 0{,}01 \cdot 3950 \approx 40$ N.
Deliksiz yerlerde bu kuvveti tambur duvarı sağlar. Deliğe gelen damlanın önünde duvar yoktur; kuvvet de yoktur. Damla o anki hızının yönünde, yani teğet doğrultusunda düz gider ve tamburdan çıkar. Çamaşır bu yüzden kurur.
Sık yapılan hata: Damlanın "merkezkaç kuvvetiyle dışarı fırladığını" sanmak. Yerdeki bir gözlemci için damlayı dışarı iten bir kuvvet yoktur; damlayı içeride tutacak kuvvet ortadan kalkmıştır. Merkezkaç, dönen sistemin içindeki gözlemcinin hissettiği görünür bir etkidir.
Merkezcil Kuvvet Bir Rol, Bir Kuvvet Türü Değil
Merkezcil kuvvet listeye yeni bir kuvvet olarak eklenmez. Cismi çemberde tutan gerçek kuvvet hangisiyse, o merkezcil kuvvet rolünü oynar. İki klasik durum:
Düz virajda araba. Rolü lastik ile yol arasındaki sürtünme üstlenir: $\mu m g = \dfrac{m v^2}{r}$, buradan $v_{max} = \sqrt{\mu g r}$. Kütle sadeleşti: kamyon da otomobil de aynı hız sınırına tabidir. Kuru asfaltta $\mu = 0{,}5$, $r = 50$ m, $g = 10$ m/s² için $v_{max} = \sqrt{250} \approx 15{,}8$ m/s, yaklaşık 57 km/h. Islak yolda $\mu = 0{,}2$ olursa $v_{max} = 10$ m/s, yani 36 km/h. Yağmurda viraj levhasındaki hız bu yüzden düşer.
Lunaparkta düşey çember. Vagon en tepedeyken ağırlık ve rayın tepki kuvveti ikisi birden aşağı, merkeze bakar: $N + mg = \dfrac{mv^2}{r}$. Yarıçap 6,4 m ise vagonun raydan ayrılmaması için tepede en az $v = \sqrt{gr} = \sqrt{64} = 8$ m/s hız gerekir; o anda $N = 0$ olur. Tepeden 10 m/s ile geçen 60 kg'lık yolcu için $N = 60 \cdot 100 / 6{,}4 - 600 \approx 338$ N. Yolcu koltuğa ağırlığından az bastırır, kendini hafif hisseder.
Grafik Okuma: Yarıçap Büyürse İvme Ne Yapar?
İki bağıntı aynı ivmeyi farklı gösterir, soru hangisini sabit tuttuğunuza bağlıdır:
- $\omega$ sabitse (aynı plak, aynı tambur): $a_m = \omega^2 r$. İvme-yarıçap grafiği orijinden geçen bir doğrudur. Plağın kenarındaki toz, ortasındakinden daha büyük ivmeyle döner.
- $v$ sabitse (aynı süratle farklı virajlar): $a_m = v^2 / r$. Grafik bir hiperboldür; yarıçap iki katına çıkınca ivme yarıya iner.
Mini soru: Dönen bir çubuğun üzerinde K noktası merkezden 0,2 m, L noktası 0,6 m uzakta. Açısal hızlarının oranı nedir, çizgisel hızlarının oranı nedir? Açısal hızlar eşittir, çünkü aynı sürede aynı açıyı tararlar. Çizgisel hızlar yarıçapla orantılıdır: $v_L = 3v_K$.
Aynı çubuğa dönme ekseninden 0,5 m uzakta, çubuğa dik 20 N'luk kuvvet uygulanırsa tork $\tau = F \cdot d = 10$ N·m olur. Çembersel hareketi başlatan ya da hızlandıran şey torktur; dönen cismin eylemsizliği ise kütlenin eksene uzaklığına bağlıdır.
Hem Dönen Hem İlerleyen Tekerlek
Bisiklet tekerleği yolda kaymadan yuvarlanıyor: hem kendi ekseni çevresinde dönüyor hem ileri gidiyor. Buna dönerek öteleme denir. Kaymama koşulu şudur: tekerleğin merkezi, çevredeki bir noktanın dönme hızıyla aynı hızla ilerler, $v = \omega r$.
Yarıçap 0,35 m, bisiklet 7 m/s hızla gidiyor: $\omega = 7 / 0{,}35 = 20$ rad/s. Yere göre hızlar:
- En üst nokta: ilerleme hızı + dönme hızı = $7 + 7 = 14$ m/s
- Merkez: 7 m/s
- Yere değen nokta: $7 - 7 = 0$, o an yere göre duruyordur.
Hızlı giden bisikletin fotoğrafında tellerin üstte bulanık, altta net çıkması bundandır. Temas noktasının hızsız olması da sürtünmenin neden iş yapmadığını açıklar: kaymayan tekerlekte sürtünme statiktir.
Sınav ipucu: Soruda "sabit süratle" ifadesi varsa ivmenin sıfır olduğunu söyleyen şık tuzaktır. "Kaymadan yuvarlanıyor" ifadesi ise $v = \omega r$ bağıntısını kullanmanız için verilmiş ipucudur.
Sık sorulanlar
Düzgün çembersel harekette ivme var mıdır?
Vardır. Sürat sabit olsa da hızın yönü sürekli değişir. Değişimden doğan ivme merkeze yöneliktir ve a = v²/r ile hesaplanır.
Virajda güvenli hız aracın kütlesine bağlı mı?
Düz virajda bağlı değildir. Sürtünme kuvveti de gereken merkezcil kuvvet de kütleyle orantılı olduğu için kütle sadeleşir: v = √(μgr).
Kaymadan yuvarlanan tekerleğin en üst noktası ne hızla gider?
Merkezin hızının iki katıyla. Temas noktası ise o an yere göre duruyordur.
Çamaşır makinesi suyu nasıl ayırıyor?
Tambur duvarı çamaşırı çemberde tutacak kuvveti uygular, ama deliklerde suyu tutacak bir kuvvet yoktur. Su damlası teğet doğrultusunda düz gider ve tamburdan çıkar.