Kalasın Üstündeki Boyacı
İki sehpanın üzerine 4 m uzunluğunda, 200 N ağırlığında türdeş bir kalas konmuş. Üstünde 600 N ağırlığındaki boyacı, sol sehpadan 1 m uzakta duruyor. Sehpalar kalası kaçar newtonla itiyor?
İki bilinmeyen var ($N_1$ solda, $N_2$ sağda), öyleyse iki denkleme ihtiyaç var. Denge bunu zaten iki koşul olarak verir:
- Öteleme dengesi $\sum F = 0$: $N_1 + N_2 = 200 + 600 = 800$ N
- Dönme dengesi $\sum \tau = 0$: herhangi bir noktaya göre torklar toplamı sıfır.
Torku sol sehpaya göre alalım; böylece $N_1$'in moment kolu sıfır olur. Kalasın ağırlığı tam ortada, 2 m'de etkir:
$N_2 \cdot 4 = 200 \cdot 2 + 600 \cdot 1 = 1000 \quad \Rightarrow \quad N_2 = 250 \text{ N}$
$N_1 = 800 - 250 = 550$ N. Boyacı sola yakın durduğu için yükün çoğunu sol sehpa taşıyor. Kontrol için torku sağ uca göre alın: $N_1 \cdot 4 = 200 \cdot 2 + 600 \cdot 3 = 2200$, yine $N_1 = 550$ N.
Mini soru: Boyacı tam ortaya yürürse tepkiler ne olur? Düzen simetrik olur: 400'er N.
Neden İki Koşul?
Arabanın direksiyonunu iki elinizle, merkeze 0,2 m uzaklıktaki karşılıklı iki noktadan, biri yukarı biri aşağı 20'şer N ile çevirin. Kuvvetler eşit ve zıt yönlü; toplamları sıfır. Direksiyon yerinden kaymaz. Ama döner: iki kuvvetin torku aynı yöndedir ve toplam tork $20 \cdot 0{,}2 + 20 \cdot 0{,}2 = 8$ N·m'dir. Buna kuvvet çifti denir.
Demek ki net kuvvetin sıfır olması cismin dönmediğini göstermez. Tam denge için $\sum F = 0$ ve $\sum \tau = 0$ birlikte gerekir.
Çekicin Kütle Merkezi Neden Başına Yakın?
30 cm'lik tahta sapın kütlesi 0,3 kg ve kendi kütle merkezi ortasında, 15 cm'de. Ucundaki metal başın kütlesi 0,7 kg ve 30 cm'de sayılabilir. Sapın tutulan ucunu başlangıç alırsak:
$x_{KM} = \dfrac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \dfrac{0{,}3 \cdot 15 + 0{,}7 \cdot 30}{1{,}0} = 25{,}5 \text{ cm}$
Çekici parmağınızın üzerinde dengelemek istiyorsanız, parmağı başa 4,5 cm uzaklığa koymalısınız. Kütle merkezi ağır parçaya yakındır.
Kütle merkezi yalnız kütlenin dağılımına bağlıdır. Ağırlık merkezi ise ağırlık kuvvetlerinin bileşkesinin uygulandığı noktadır ve çekim alanına da bağlıdır. Günlük boyutlardaki cisimlerde çekim alanı her noktada aynı sayılır ve iki merkez çakışır.
Biçimi düzensiz bir levhanın ağırlık merkezini deneyle bulmak için levha bir noktasından asılır ve asma noktasından geçen düşey çizgi (çekül doğrusu) çizilir; sonra başka bir noktadan asılıp işlem tekrarlanır. İki doğrunun kesiştiği nokta ağırlık merkezidir, çünkü asılı cisimde ağırlık merkezi her zaman asma noktasının tam altına gelir.
Buzdolabı Kaç Derecede Devrilir?
Cisim, ağırlık merkezinden inen düşey doğru destek yüzeyinin dışına çıktığı an devrilir. Taşıma sırasında eğilen bir buzdolabını düşünelim: taban genişliği 0,6 m, ağırlık merkezi yerden 0,8 m yüksekte. Dolap bir kenarı üzerinde eğildikçe ağırlık merkezi o kenara yaklaşır. Merkez tam kenarın üstüne geldiğinde:
$\tan\theta = \dfrac{0{,}3}{0{,}8} = 0{,}375 \quad \Rightarrow \quad \theta \approx 21°$
Bu açıdan fazla eğilirse dolap kendiliğinden devrilir. Alt raflara ağır şişeler konup ağırlık merkezi 0,5 m'ye inerse $\tan\theta = 0{,}6$ ve $\theta \approx 31°$ olur; dolap çok daha güvenlidir. Yarış otomobillerinin alçak ve geniş, çift katlı otobüslerde üst katın hafif yüklü olması aynı hesabın sonucudur.
Denge türleri: Hafifçe itildikten sonra eski konumuna dönen cisim kararlı dengededir (itince ağırlık merkezi yükselir). Konumundan büsbütün uzaklaşan cisim kararsız dengededir (ağırlık merkezi alçalır). Bırakıldığı yerde kalan cisim nötr dengededir (yükseklik değişmez); yatay zemindeki top gibi.
İp cambazının uzun sırığı iki işe yarar: uçları aşağı sarktığı için ağırlık merkezini alçaltır ve kütleyi eksenden uzağa yaydığı için dönmeye direnci artırır. Cambaz dengesini kaybetmeye başladığında düzeltmek için daha çok zamanı olur.
Sık Yapılan Hatalar
1. "Net kuvvet sıfırsa cisim dengededir." Direksiyon örneği tersini gösterir; dönme dengesi ayrıca kontrol edilir.
2. Ağırlık merkezini hep cismin maddesi üzerinde aramak. Halkada, at nalında, bumerangda merkez boşluğa düşer.
3. Türdeş olmayan cisimde geometrik merkezi kullanmak. Çekiç örneğinde geometrik orta 15 cm'dir, kütle merkezi 25,5 cm.
4. Tepki kuvvetlerini eşit sanmak. Yük ortada değilse yakın destek daha çok taşır; kalas örneğinde 550 N'a 250 N.
Sınav ipucu: AYT denge sorularında ilk iş, torku alacağınız noktayı seçmektir. Bilinmeyen kuvvetin geçtiği nokta en iyi seçimdir.
Sık sorulanlar
Kalas problemlerinde tork hangi noktaya göre alınmalı?
Herhangi bir noktaya göre alınabilir, ama bilinmeyen tepki kuvvetlerinden birinin uygulandığı noktayı seçmek o kuvveti denklemden düşürür ve çözümü kısaltır.
Net kuvvet sıfırken cisim dönebilir mi?
Evet. Kuvvet çiftinde iki kuvvet eşit ve zıt yönlüdür, toplamları sıfırdır, ama torkları aynı yöndedir. Direksiyonu iki elle çevirmek buna örnektir.
Devrilme açısı nasıl hesaplanır?
Ağırlık merkezinin tabandan yüksekliği h, devrileceği kenara yatay uzaklığı a ise devrilme açısı için tan θ = a / h yazılır. Merkez alçaldıkça açı büyür.
Kütle merkezi ile ağırlık merkezi ne zaman ayrışır?
Çekim alanı cismin her yerinde aynı değilse. Çok büyük cisimlerde ayrışabilirler; günlük boyutlardaki cisimlerde çakışık kabul edilir.