12. Sınıf Eylemsizlik Momenti — Konu Anlatımı

Aynı Kütle, Dört Kat Direnç

Hafif bir çubuğun iki yanına 1'er kg'lık ağırlık takılı. Çubuğu ortasından tutup çevirmeye çalışıyorsunuz. Ağırlıklar merkezden 0,5 m uzaktayken çubuk kolay dönüyor. Ağırlıkları uçlara, 1 m'ye kaydırınca aynı hızda döndürmek çok zorlaşıyor. Toplam kütle değişmedi; ne değişti?

Değişen eylemsizlik momentidir, cismin dönme hareketindeki değişime direnci:

$I = \sum m r^2 \qquad \text{birim: kg·m²}$

İlk durumda $I = 1 \cdot 0{,}5^2 + 1 \cdot 0{,}5^2 = 0{,}5$ kg·m². İkinci durumda $I = 1 \cdot 1^2 + 1 \cdot 1^2 = 2$ kg·m². Uzaklık iki katına çıktı, $I$ dört katına çıktı, çünkü uzaklık karesiyle giriyor.

Eylemsizlik momenti yalnız kütleye değil, kütlenin dönme eksenine göre nasıl dağıldığına bağlıdır. Tek bir cismin bile farklı eksenlere göre farklı $I$ değerleri vardır.

Öteleme ile Dönme Arasındaki Sözlük

Dönme bağıntılarının hepsi ötelemedeki karşılıklarından çevrilerek yazılabilir:

• kütle $m$ ↔ eylemsizlik momenti $I$
• hız $v$ ↔ açısal hız $\omega$; ivme $a$ ↔ açısal ivme $\alpha$
• kuvvet $F$ ↔ tork $\tau$; momentum $p = mv$ ↔ açısal momentum $L = I\omega$

Newton'ın ikinci yasası $F = ma$, dönmede $\tau = I\alpha$ olur.

Çözümlü örnek: 0,9 m genişliğinde, 20 kg'lık bir kapının menteşe eksenine göre eylemsizlik momenti $I = \tfrac{1}{3}ML^2 = \tfrac{1}{3} \cdot 20 \cdot 0{,}81 = 5{,}4$ kg·m². Kapıyı kenarından dik olarak 15 N ile iterseniz $\tau = 15 \cdot 0{,}9 = 13{,}5$ N·m ve $\alpha = 13{,}5 / 5{,}4 = 2{,}5$ rad/s². Kuvveti kapının ortasından uygularsanız tork ve açısal ivme yarıya iner: 1,25 rad/s². Menteşeye yakın itmenin zor olması bundandır.

Hazır Formüller ve Eksenin Yeri

Kütlesi $M$ olan türdeş cisimler için sık kullanılan değerler:

• İnce halka, merkezinden: $MR^2$ (bütün kütle en uzakta)
• Dolu disk ya da silindir, merkezinden: $\tfrac{1}{2}MR^2$
• Dolu küre, merkezinden: $\tfrac{2}{5}MR^2$
• İnce çubuk, ortasından: $\tfrac{1}{12}ML^2$; ucundan: $\tfrac{1}{3}ML^2$

1,2 kg'lık, 1 m'lik bir çubuk için ortadan $0{,}1$ kg·m², uçtan $0{,}4$ kg·m². Uçtan döndürmek dört kat zordur. Bu iki değer birbirine paralel eksen teoremiyle bağlıdır: $I = I_{KM} + Md^2 = 0{,}1 + 1{,}2 \cdot 0{,}5^2 = 0{,}4$ kg·m². Kütle merkezinden geçen eksen her zaman en küçük eylemsizlik momentini verir.

Mini soru: Aynı çubuğu bir ucundan 25 cm içerideki noktadan döndürürsek? Eksen kütle merkezinden 0,25 m uzakta: $I = 0{,}1 + 1{,}2 \cdot 0{,}25^2 = 0{,}175$ kg·m². Ortadan döndürmekten zor, uçtan döndürmekten kolay; eksen merkezden uzaklaştıkça $I$ büyür.

Eğik Düzlem Yarışı: Sayılarla

Kütleleri ve yarıçapları eşit bir halka, bir disk ve bir dolu küre, 1,8 m yükseklikteki eğik düzlemden aynı anda bırakılıyor ve kaymadan yuvarlanıyor. Hangisi önce iner?

Potansiyel enerji öteleme ve dönme enerjisine paylaşılır. $I = kMR^2$ yazarsak ve $v = \omega R$ kullanırsak:

$Mgh = \tfrac{1}{2}Mv^2 + \tfrac{1}{2}kMv^2 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\dfrac{2gh}{1 + k}}$

$g = 10$ m/s², $2gh = 36$ için: küre ($k = 0{,}4$) $\sqrt{36/1{,}4} \approx 5{,}07$ m/s; disk ($k = 0{,}5$) $\sqrt{24} \approx 4{,}90$ m/s; halka ($k = 1$) $\sqrt{18} \approx 4{,}24$ m/s. Sürtünmesiz kaysaydı $\sqrt{36} = 6$ m/s olurdu.

Sıralama: küre, disk, halka. Kütle ve yarıçap formülden sadeleşti; sonucu yalnız kütlenin dağılımı ($k$) belirliyor. Halkada enerjinin yarısı dönmeye gider, ilerlemeye az kalır.

Volanın Sakladığı Enerji

Dönen cismin kinetik enerjisi $E_k = \tfrac{1}{2}I\omega^2$'dir. 20 kg'lık, 0,3 m yarıçaplı dolu bir disk volan için $I = \tfrac{1}{2} \cdot 20 \cdot 0{,}09 = 0{,}9$ kg·m². 100 rad/s ile dönerken $E_k = \tfrac{1}{2} \cdot 0{,}9 \cdot 10^4 = 4500$ J depolar. Açısal hız iki katına çıkarsa enerji dört katına, 18 000 J'e çıkar. Motorlardaki volanlar bu enerjiyi vuruşlar arasında taşıyarak dönüşü düzgünleştirir; bu yüzden kütleleri dış kenarda toplanır.

Sık yapılan hata: Kütlesi eşit iki cismin eylemsizlik momentinin de eşit olduğunu sanmak. Halka ile disk aynı kütlede olsa bile halkanınki iki katıdır. Bir başka yanılgı: yuvarlanan cismin kinetik enerjisini yalnız $\tfrac{1}{2}mv^2$ diye yazmak; dönme enerjisi unutulursa hız fazla bulunur.

Mini soru: Cimnastikçi takla atarken neden dizlerini göğsüne çeker? Kütlesini eksene yaklaştırır, $I$ küçülür ve aynı açısal momentumla daha hızlı döner.

Sınav ipucu: "Kütleleri ve yarıçapları eşit" ifadesi, sorunun kütle dağılımını sorduğunu söyler. İlk iş, hangi cismin kütlesinin eksenden daha uzakta olduğunu bulmaktır.

Sık sorulanlar