12. Sınıf Kepler Kanunları — Konu Anlatımı

1986'da Dönen Misafir: Halley

Halley kuyruklu yıldızı Güneş'in yakınından en son 1986'da geçti; bir sonraki dönüşü 2061 yılında bekleniyor. Yani bir turunu yaklaşık 76 yılda tamamlıyor. Güneş'e en çok 0,6 astronomi birimi (AB) kadar yaklaşıyor. (1 AB, Dünya-Güneş ortalama uzaklığıdır, yaklaşık 150 milyon km.)

Yalnız bu iki bilgiyle, Halley'in Güneş'ten en çok ne kadar uzaklaştığını bulabilir miyiz? Kepler'in kanunlarıyla evet. Kanunları bu kez sondan başa doğru, bu soruyu çözmek için gereken sırayla kullanacağız.

Üçüncü Kanun: Periyottan Yörünge Boyutuna

Aynı merkezin çevresinde dolanan bütün cisimler için:

$\dfrac{T^2}{a^3} = \text{sabit}$

Burada $T$ dolanma periyodu, $a$ yörüngenin yarı büyük eksenidir, yani en yakın ve en uzak uzaklıkların ortalaması. Güneş çevresinde $T$ yıl, $a$ AB cinsinden yazılırsa sabit 1 olur, çünkü Dünya için $1^2 / 1^3 = 1$.

Halley için: $a^3 = T^2 = 76^2 = 5776 \Rightarrow a = \sqrt[3]{5776} \approx 17{,}9$ AB

En yakın ve en uzak uzaklıkların toplamı $2a$'dır:

$r_{\text{uzak}} = 2a - r_{\text{yakın}} = 2 \cdot 17{,}9 - 0{,}6 \approx 35{,}2$ AB

Halley, Neptün'ün yörüngesinin de ötesine (yaklaşık 30 AB) kadar gidiyor.

Mini soru: Mars'ın yarı büyük ekseni 1,52 AB. Mars yılı kaç Dünya yılıdır? $T = \sqrt{1{,}52^3} = 1{,}52 \cdot \sqrt{1{,}52} \approx 1{,}52 \cdot 1{,}233 \approx 1{,}87$ yıl, yani yaklaşık 685 gün. Ölçülen değer 687 gündür; fark yuvarlamadan geliyor.

Sık yapılan hata: Üsleri karıştırıp $T^3 \propto a^2$ yazmak ya da $a$ yerine en yakın uzaklığı koymak. Periyodun karesi, yarı büyük eksenin küpüyle orantılıdır. Dört kat uzak gezegenin periyodu dört değil sekiz kat uzundur ($4^3 = 64$, $\sqrt{64} = 8$).

İkinci Kanun: Neden Birkaç Ayda Geçip Gidiyor?

Gezegeni (ya da kuyruklu yıldızı) Güneş'e birleştiren doğru parçası eşit sürelerde eşit alanlar tarar. Güneş'e yakınken yarıçap kısadır; aynı alanı taramak için cisim daha uzun bir yay çizmek, yani hızlanmak zorundadır.

İkinci kanun aslında açısal momentumun korunumunun geometrik hâlidir. Çekim kuvveti merkezîdir, torku sıfırdır; en yakın ve en uzak noktalarda hız yarıçapa dik olduğundan:

$m v_{\text{yakın}} r_{\text{yakın}} = m v_{\text{uzak}} r_{\text{uzak}} \Rightarrow \dfrac{v_{\text{yakın}}}{v_{\text{uzak}}} = \dfrac{35{,}2}{0{,}6} \approx 59$

Halley Güneş'in yanında, en uzak noktasındakinden yaklaşık 59 kat hızlıdır. Bu nedenle 76 yıllık turunun yalnız birkaç ayında Güneş'e yakın görünür.

Dünya için aynı hesap: en yakın 147, en uzak 152 milyon km. Hız oranı $\frac{152}{147} \approx 1{,}03$; Dünya ocak ayında temmuza göre yaklaşık %3 daha hızlıdır.

Birinci Kanun: Elips ve Odak

Yörüngeler elipstir ve Güneş elipsin merkezinde değil, odaklarından birindedir. Halley'in yörüngesi çok basık bir elipstir: bir ucu 0,6 AB'de, diğeri 35 AB'de. Gezegen yörüngeleri ise daireye çok yakındır; çizimlerde daire gibi görünmelerinin nedeni budur. Kepler bu küçük sapmayı, teleskop öncesi dönemde Tycho Brahe'nin yıllarca tuttuğu Mars gözlemlerinden çıkardı.

Sık yapılan hata: Mevsimleri Güneş'e uzaklıkla açıklamak. Dünya Güneş'e en yakın noktasından ocak başında geçer; o sırada Kuzey Yarım Küre'de kıştır. Uzaklık farkı yalnız yaklaşık %3'tür; mevsimlerin nedeni eksen eğikliğidir.

Grafikle Sınamak: Neden T² ve a³?

Birkaç gezegenin verisini yan yana koyalım:

$T$'yi $a$'ya karşı çizerseniz yukarı doğru bükülen bir eğri elde edersiniz; eğriden kanunun ne olduğunu okumak zordur. $T^2$'yi $a^3$'e karşı çizince noktalar orijinden geçen bir doğruya oturur ve eğim 1 çıkar. Deney verisini doğrusallaştırmak, fizikte bir bağıntıyı sınamanın en güvenilir yoludur. Bir sonraki satır için kendinize sorun: Satürn'ün periyodunu bilmeden yalnız tablodaki eğimle bulabilir miydiniz? Evet: $T = \sqrt{868} \approx 29{,}5$ yıl.

Sabiti Newton Açıklıyor: Uydu Hesabı

Kepler "nasıl" sorusunu gözlemle cevapladı; Newton "neden" sorusunu çekim yasasıyla. Dairesel yörünge için çekim kuvveti merkezcil kuvvete eşittir:

$G\dfrac{Mm}{r^2} = m\dfrac{4\pi^2 r}{T^2} \Rightarrow \dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM}$

İki sonuç çıkar: (1) Sabit yalnız merkezdeki kütleye bağlıdır; dolanan uydunun kütlesi sadeleşir. (2) Merkez değişirse sabit de değişir: Güneş için bulunan sabit, Dünya'nın uyduları için kullanılamaz.

Çözümlü örnek: Ay, Dünya'nın merkezinden 384 000 km uzakta ve 27,3 günde dolanıyor. Periyodu 1 gün olan (yer eşzamanlı) uydu merkezden ne kadar uzakta olmalı?

$\dfrac{r_{\text{uydu}}}{r_{\text{Ay}}} = \left(\dfrac{1}{27{,}3}\right)^{2/3} \approx \dfrac{1}{9{,}07}$

$r_{\text{uydu}} \approx \dfrac{384\,000}{9{,}07} \approx 42\,300$ km

Yüzeyden yükseklik yaklaşık $42\,300 - 6\,400 \approx 36\,000$ km. Televizyon uydularının gerçek yüksekliği de budur; Kepler'in 400 yıllık kanunu bugün uydu çanağının nereye çevrileceğini söylüyor.

AYT ipucu: Soruda iki farklı merkez (Güneş ve Dünya) varsa $T^2/a^3$ oranını karşılaştırmayın. Aynı merkez varsa oran eşittir ve dolanan cisimlerin kütlesi hiçbir şeyi değiştirmez.

Sık sorulanlar