12. Sınıf Kütle Çekim Kuvveti — Konu Anlatımı

Everest'te Tartılsanız

Deniz kıyısında baskülün 60 kg gösterdiği bir dağcı, dijital baskülünü Everest'in zirvesine (yaklaşık 8,85 km) taşısa aynı değeri okur mu? Kütlesi değişmedi; ama baskül kütleyi değil, dağcının yere bastırma kuvvetini, yani ağırlığını ölçer. Ağırlık da Dünya'nın merkezine uzaklığa bağlıdır.

Bu sorunun cevabı Newton'ın genel çekim yasasında:

$F = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$

• $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²/kg²: evrensel çekim sabiti. Evrenin her yerinde aynıdır.
• $r$: iki kütlenin merkezleri arasındaki uzaklık (m). Yüzeyden yükseklik değil.

Kuvvet kütlelerin çarpımıyla doğru, uzaklığın karesiyle ters orantılıdır. Uzaklık iki katına çıkınca kuvvet dörtte bire, üç katına çıkınca dokuzda bire iner; ama hiçbir sonlu uzaklıkta sıfır olmaz.

$G$'nin ne kadar küçük olduğunu görmek için aralarında 1 m bulunan 50'şer kilogramlık iki öğrenciyi düşünelim:

$F = 6{,}67 \times 10^{-11} \cdot \dfrac{50 \cdot 50}{1^2} \approx 1{,}7 \times 10^{-7}$ N

Her birinin ağırlığı 500 N; aradaki çekim bundan yaklaşık 3 milyar kat küçük. İki kişinin birbirine doğru kaymamasının nedeni bu. Çekim ancak kütlelerden biri gezegen ölçeğine çıkınca hissedilir hâle gelir.

Yasa simetriktir. 0,2 kg'lık bir elmayı Dünya 2 N ile çekiyorsa elma da Dünya'yı 2 N ile çeker. Farkı yaratan ivmedir: elmanınki $\frac{2}{0{,}2} = 10$ m/s², Dünya'nınki $\frac{2}{6 \times 10^{24}} \approx 3 \times 10^{-25}$ m/s². Kuvvetler eşit, ivmeler kütlelerle ters orantılıdır.

Küçük g Nereden Çıkıyor?

Yüzeydeki $m$ kütleli cisme etki eden çekim kuvvetini $F = mg$ ile eşitleyelim:

$mg = G\dfrac{Mm}{R^2} \Rightarrow g = G\dfrac{M}{R^2}$

Cismin kütlesi sadeleşti. Havasız ortamda tüy ile taşın birlikte düşmesinin açıklaması bu satırdadır. Dünya için $M \approx 6 \times 10^{24}$ kg ve $R \approx 6{,}4 \times 10^{6}$ m yazarsak:

$g = \dfrac{6{,}67 \times 10^{-11} \cdot 6 \times 10^{24}}{(6{,}4 \times 10^{6})^2} = \dfrac{4{,}0 \times 10^{14}}{4{,}1 \times 10^{13}} \approx 9{,}8$ m/s²

Şimdi Everest sorusuna dönelim. Zirvede merkeze uzaklık 6370 km yerine 6378,85 km:

$\dfrac{g_{\text{zirve}}}{g} = \left(\dfrac{6370}{6378{,}85}\right)^2 \approx 0{,}9972$

Çekim yaklaşık %0,28 azalır. $g = 10$ m/s² ile 600 N olan ağırlık yaklaşık 598,3 N'a iner; baskül yaklaşık 170 g daha az gösterir. (Dünya'nın dönmesi ve yerel kaya yoğunluğu da küçük farklar yaratır; burada yalnız yükseklik etkisine bakıyoruz.)

Sık yapılan hata: $G$ ile $g$'yi aynı şey sanmak. $G$ evrensel bir sabittir; $g$ ise bulunduğunuz gezegene ve merkeze uzaklığa bağlıdır. İkinci yaygın hata $r$ yerine yüzeyden yüksekliği yazmaktır: 400 km'deki uzay istasyonu için $r = 6400 + 400 = 6800$ km alınır ve $g$ oranı $(6400/6800)^2 \approx 0{,}89$ çıkar. Yani orada çekim, yüzeydekinin yaklaşık %89'udur; astronotların süzülmesi çekimin yokluğundan değil, istasyonla birlikte serbest düşmelerindendir.

Başka Gezegende g

Mars'ın kütlesi Dünya'nınkinin yaklaşık $\frac{1}{10}$'u, yarıçapı yaklaşık yarısıdır.

$\dfrac{g_{\text{Mars}}}{g_{\text{Dünya}}} = \dfrac{1/10}{(1/2)^2} = \dfrac{1/10}{1/4} = 0{,}4$

Buradan $g_{\text{Mars}} \approx 4$ m/s² bulunur (ölçülen değer 3,7 m/s²; fark yuvarlamadan geliyor). Mars'ta 60 kg'lık dağcının ağırlığı yaklaşık 240 N olur, kütlesi yine 60 kg'dır.

Mini soru: Dünya'nın kütlesi aynı kalıp yarıçapı yarıya inseydi yüzeydeki $g$ ne olurdu? Payda $R^2$ olduğu için $2^2 = 4$ kat büyürdü: yaklaşık 40 m/s².

Daha Zor Bir Soru: Dünya ile Ay Arasında Ağırlıksız Nokta

Dünya'nın kütlesi Ay'ınkinin 81 katıdır, merkezleri arası uzaklık yaklaşık 384 000 km'dir. Bir uzay aracına iki cismin uyguladığı çekim kuvvetleri hangi noktada eşitlenir?

Noktanın Dünya'ya uzaklığı $x$, Ay'a uzaklığı $d - x$ olsun:

$G\dfrac{81M_A m}{x^2} = G\dfrac{M_A m}{(d - x)^2} \Rightarrow \dfrac{x^2}{(d-x)^2} = 81 \Rightarrow \dfrac{x}{d - x} = 9$

$x = 0{,}9\,d = 0{,}9 \cdot 384\,000 = 345\,600$ km

Nokta tam ortada değil, Ay'a çok yakındır; çünkü kütle 81 kat büyükken uzaklık kareyle girdiği için oranın karekökü, yani 9 belirleyicidir. Sık görülen hata burada 81'in kökünü almayı unutup noktayı $\frac{81}{82}d$'ye koymaktır.

Grafik Okuma: Merkezden Uzaklaşırken g

Düzgün yoğunluklu bir gezegen modelinde $g$'nin merkezden uzaklıkla değişimi iki parçalı bir grafiktir:

• İçeride ($r$, $R$'den küçük): $g$ merkezde 0'dan başlar ve yüzeye kadar doğrusal artar. Merkezde her yönden gelen çekim birbirini götürür.
• Dışarıda ($r \geq R$): $g \propto \frac{1}{r^2}$; $r = 2R$'de $\frac{g_0}{4}$, $r = 3R$'de $\frac{g_0}{9}$.

En büyük değer yüzeydedir. Grafik yüzeyde tepe yapar; madene inen biri de dağa tırmanan biri de daha küçük $g$ ölçer.

Kütle Çekim Potansiyel Enerjisi

Yüzeye yakın bölgede $g$ sabit sayılır ve $E_p = mgh$ kullanılır. 5 kg'lık bir kutuyu 4 m yükseğe kaldırmak $5 \cdot 10 \cdot 4 = 200$ J enerji depolar. Sıfır düzeyini masa ya da zemin seçmek sonucu değiştirmez, çünkü fizikte anlamlı olan iki konum arasındaki farktır.

Yükseklik gezegen yarıçapıyla kıyaslanabilir hâle gelince $g$ değiştiği için genel bağıntı gerekir: $E_p = -G\dfrac{Mm}{r}$. Sıfır noktası sonsuzda seçildiğinden değer negatiftir; cisim yaklaştıkça daha da negatif olur. Uyduları yörüngeye çıkarmak için gereken enerji bu bağıntıyla hesaplanır.

Sık sorulanlar