12. Sınıf Basit Harmonik Hareket — Konu Anlatımı

Rayda Gidip Gelen Araba

Laboratuvardaki hava rayında 2 kg'lık bir araba, yay sabiti $k = 200$ N/m olan bir yaya bağlı. Arabayı denge konumundan 10 cm çekip bırakıyoruz. Sürtünme yok denecek kadar az; araba bir o yana bir bu yana gidip geliyor.

Bu hareketi yöneten tek kural yayın kuvveti:

$F = -kx$

Buradaki $x$ uzanımdır: arabanın denge konumundan uzaklığı. Eksi işareti kuvvetin her an denge konumuna doğru baktığını söyler. Araba sağdaysa kuvvet sola, soldaysa sağa. Bu yüzden bu kuvvete geri çağırıcı kuvvet denir.

Newton'ın ikinci yasasını yazalım: $ma = -kx$, yani

$a = -\dfrac{k}{m}\,x = -\omega^2 x \qquad \omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$

Basit harmonik hareketin (BHH) imzası bu satırdır: ivme uzanımla doğru orantılı ve ona zıt yönlüdür. Bir hareket bu koşulu sağlıyorsa, yay olsun sarkaç olsun, BHH'dir.

Sayılarla Bir Tur

Arabamız için $\omega = \sqrt{200/2} = 10$ rad/s. Periyot:

$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{10} \approx 0{,}63 \text{ s}$

Genlik $A = 0{,}1$ m. Uç noktada kuvvet $F = 200 \cdot 0{,}1 = 20$ N, ivme $a = 20/2 = 10$ m/s². Tam ortada ise $x = 0$ olduğu için kuvvet de ivme de sıfır.

Peki hız? Enerjiden bulalım. Uçta bütün enerji yaydadır:

$E = \tfrac{1}{2}kA^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 200 \cdot 0{,}01 = 1 \text{ J}$

Denge konumunda bu 1 J tamamen kinetik enerjidir: $\tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot v^2 = 1$, buradan $v_{max} = 1$ m/s. Aynı sonucu $v_{max} = A\omega = 0{,}1 \cdot 10$ bağıntısı da verir.

Ara bir noktaya bakalım: $x = 5$ cm iken yayda $\tfrac{1}{2} \cdot 200 \cdot 0{,}0025 = 0{,}25$ J var, kinetik enerji $0{,}75$ J kalır ve $v = \sqrt{0{,}75} \approx 0{,}87$ m/s olur. Yolun yarısındayız ama hız en büyük değerin yarısı değil, yüzde 87'si.

Çemberin Gölgesi

$\omega$ harfi neden açısal hız gibi duruyor? Çünkü BHH, düzgün çembersel hareketin gölgesidir. Yarıçapı $A$ olan bir çemberde $\omega$ açısal hızıyla dönen bir bilyeyi yandan ışıkla aydınlatın; duvardaki gölgesi tam olarak BHH yapar:

$x = A\cos(\omega t)$

Bu benzetme iki formülü ezberden kurtarır. Gölgenin en büyük hızı bilyenin çizgisel hızıdır: $v_{max} = A\omega$. Gölgenin en büyük ivmesi bilyenin merkezcil ivmesidir: $a_{max} = A\omega^2$. Arabamız için $0{,}1 \cdot 100 = 10$ m/s², az önce kuvvetten bulduğumuz sayı.

Grafik Okuma: a-x Doğrusu

Konum-zaman grafiği kosinüs eğrisidir; hız-zaman grafiği ondan çeyrek periyot kaymıştır. Konum tepedeyken hız sıfırdan geçer, konum sıfırdan geçerken hız tepededir.

AYT'de sık çıkan grafik ise ivme-konum grafiğidir. $a = -\omega^2 x$ bir doğru denklemidir: orijinden geçer, eğimi negatiftir ve eğimin büyüklüğü $\omega^2$'dir. Grafikte $x = 0{,}1$ m'de $a = -10$ m/s² okuyorsanız $\omega^2 = 100$, $\omega = 10$ rad/s ve $T \approx 0{,}63$ s'dir. Tek bir noktadan periyodu buldunuz.

Sınır durum: a-x grafiği eğri çıkıyorsa, ya da doğru orijinden geçmiyorsa hareket BHH değildir. Büyük açıyla salınan sarkaç bunun örneğidir; küçük açı yaklaşımı bozulur ve periyot genliğe bağlı hâle gelir.

Yarı Yol Yarı Süre mi?

Soru: Araba denge konumundan $A/2$ noktasına ne kadar sürede gider? Çeyrek periyodun yarısı, yani $T/8$ demek çok cazip.

Oysa hız denge konumunda en büyüktür; araba ilk yarıyı hızlı, ikinci yarıyı yavaş alır. $A\sin(\omega t) = A/2$ denkleminden $\omega t = \pi/6$ ve $t = T/12$ çıkar. Kalan yarı yol $T/4 - T/12 = T/6$ sürer, ilk yarının iki katı. Arabamız için ilk 5 cm yaklaşık $0{,}05$ s, sonraki 5 cm yaklaşık $0{,}10$ s.

Sık yapılan hata tam burada: BHH'yi sabit hızlı hareket gibi düşünüp yolu süreyle orantılı bölmek. İkinci yaygın hata da hız ile ivmeyi aynı yerde en büyük sanmaktır. Tersi doğru: hız dengede, ivme uçta en büyüktür. Kuvvet uzanıma bağlı olduğu için dengede kuvvet sıfırdır; "en hızlı geçtiği yerde en çok itiliyor" düşüncesi yanlıştır.

Bu Ünitenin Testiyle Bağlantı: Tork ve Momentum

Kuvvet ve Hareket ünitesinin testi tork, denge ve momentum soruyor. BHH bu üç kavramı birbirine bağlar.

Tork: Sarkacı geri getiren şey ağırlığın asılma noktasına göre torkudur. 0,5 kg'lık topu 0,8 m'lik ipte 30° açıyla tutarsanız moment kolu $0{,}8 \cdot \sin 30° = 0{,}4$ m, ağırlık $g = 10$ m/s² ile 5 N ve tork $\tau = 5 \cdot 0{,}4 = 2$ N·m olur. En altta ağırlığın doğrultusu asılma noktasından geçer, moment kolu sıfırdır; tork da sıfırdır. Denge konumu, net torkun sıfır olduğu kararlı denge noktasıdır.

Momentum: Arabamızın momentumu dengede en büyüktür: $p = 2 \cdot 1 = 2$ kg·m/s. Uçtan dengeye giderken yayın uyguladığı itme $2$ N·s'dir. Dengeden sağa geçip yarım periyot sonra dengeden sola geçerken momentum $+2$'den $-2$'ye döner; itmenin büyüklüğü $4$ N·s'dir. Hız büyüklüğü aynı diye değişimi sıfır sanmayın; momentum vektöreldir.

Mini soru: Arabaya yapışan 2 kg'lık bir kütle eklersek periyot ne olur? Kütle iki katı, $T$ ise $\sqrt{2}$ katı: yaklaşık $0{,}89$ s.

Sık sorulanlar