Boy Aynası Ne Kadar Uzun Olmalı?
Boyu 1,80 m olan biri, duvara asılı aynada kendini baştan ayağa görmek istiyor. Kaç metrelik ayna almalı? Çoğu kişi "1,80" der. Cevap 0,90 m.
Neden yarısı? Ayağınızdan çıkan ışının gözünüze gelmesi için aynaya, göz ile ayak arasındaki yüksekliğin tam ortasında çarpması gerekir (gelme açısı = yansıma açısı). Aynı şey başın tepesi için de geçerli. Aynanın kullanılan parçası bu iki orta noktanın arası, yani boyun yarısıdır. Gözü yerden 1,70 m yüksekte olan biri için aynanın alt kenarı yerden 0,85 m yüksekte olmalı.
Kendin dene: Aynadan iki adım geri çekilirsen daha fazlasını görür müsün? Hesapta uzaklık hiç geçmedi; göremezsin. Görüntün küçülmüş gibi gelir ama aynada kapladığı yer yine boyunun yarısıdır.
Düzlem Aynanın Kuralları
- Görüntü sanal, düz ve cisimle aynı boydadır.
- Görüntü aynanın arkasında, cisim-ayna uzaklığı kadar içeridedir.
- Görüntü cismin aynaya göre simetriğidir: sağ elinizi kaldırınca görüntü "sol elini" kaldırır. Aslında ters çevrilen sağ-sol değil, ön-arkadır.
Hız sorusu: Aynaya 1 m/s ile yürüyorsunuz. Görüntünüz aynaya göre 1 m/s ile yaklaşır, size göre ise 2 m/s ile. Sınavlarda hangi gözlemciye göre sorulduğuna bakın.
Ayna döndürülürse: Gelen ışın sabitken ayna $\theta$ kadar dönerse yansıyan ışın $2\theta$ döner. 15°'lik bir dönüş yansıyan ışını 30° çevirir. Işık demetiyle duvara nişan alan biri bunu hemen fark eder: el biraz kıpırdasa lekenin yeri çok kayar.
Açılı iki ayna: Aralarındaki açı $\alpha$ ise görüntü sayısı $n = \dfrac{360°}{\alpha} - 1$ olur (360/α tam sayı olduğunda). 90° için 3, 60° için 5 görüntü. Kuaförde karşılıklı paralel duran iki ayna ise ($\alpha = 0$) sonsuz görüntü dizisi verir; her yansımada ışığın bir kısmı soğurulduğu için uzaktakiler kararır.
Işık Uzağa Ne Kadar Yetiyor? Aydınlanma
Aynaya yansıyacak ışık önce bir kaynaktan gelmeli. Kaynağın gücünü ışık şiddeti ($I$, birimi kandela, cd), bir yüzeye düşen ışığı aydınlanma şiddeti ($E$, birimi lüks, lx) ölçer. Işık yüzeye dik düşüyorsa:
$E = \dfrac{I}{d^2}$
100 cd'lik lamba 2 m uzaktaki masayı $100/4 = 25$ lx ile, 4 m uzaktakini $100/16 \approx 6{,}3$ lx ile aydınlatır. Uzaklık iki katına çıkınca aydınlanma dörtte birine iner: ışık aynı miktarda kalır ama dört kat büyük bir alana yayılır. Eğik düşen ışıkta $E$, yüzey normaliyle yapılan açının kosinüsüyle çarpılarak küçülür.
Daha zor örnek: 100 cd ve 25 cd'lik iki lamba 3 m arayla duruyor. Aralarındaki hangi noktada iki yüzü eşit aydınlanan bir kâğıt tutulabilir? Kâğıt güçlü lambadan $x$ uzakta olsun: $\dfrac{100}{x^2} = \dfrac{25}{(3-x)^2}$. İki tarafın karekökünü alırsak $\dfrac{10}{x} = \dfrac{5}{3-x}$, buradan $30 - 10x = 5x$ ve $x = 2$ m. Nokta ortada değil, zayıf lambaya daha yakın. Eski yağ lekeli fotometreler tam bu ilkeyle çalışırdı: leke iki yandan eşit aydınlanınca kaybolur, uzaklıklardan bilinmeyen lambanın şiddeti bulunur.
Ayna ile Mercek Yan Yana
Aynada görüntüyü yansıma, mercekte kırılma oluşturur; ama ikisi aynı denklemle çalışır:
$\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \qquad G = \dfrac{h_g}{h_c} = \dfrac{|b|}{a}$
İşaret kuralı: gerçek görüntüde $b$ pozitif, sanal görüntüde negatif. Toplayıcılarda (çukur ayna, ince kenarlı mercek) $f$ pozitif, dağıtıcılarda (tümsek ayna, kalın kenarlı mercek) negatiftir. Aynada $f = r/2$'dir; mercekte odak uzaklığı camın cinsine ve iki yüzeyin eğriliğine bağlıdır.
Örnek: $f = 20$ cm'lik çukur aynanın önüne, 30 cm uzağa bir mum koyalım. $\dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{20} - \dfrac{1}{30} = \dfrac{1}{60}$, $b = 60$ cm, $G = 2$: ters, iki kat büyük, gerçek görüntü, aynanın önünde. Aynı mumu $f = 20$ cm'lik ince kenarlı merceğin önüne koyarsak sayılar aynı çıkar, ama görüntü merceğin arka tarafında oluşur; ışık merceğin içinden geçmiştir.
Mumu $f = -20$ cm'lik tümsek aynanın önüne koyalım: $\dfrac{1}{b} = -\dfrac{1}{20} - \dfrac{1}{30} = -\dfrac{5}{60}$, $b = -12$ cm. Eksi işaret sanal görüntü demek; $G = 12/30 = 0{,}4$: düz ve küçük. Otomobil yan aynasının hep küçük göstermesi bundandır. Göz kusurlarının düzeltilmesi ve prizma ayrıntısı Mercekler ile Kırılma sayfalarında.
Sık Yapılan Hatalar
1. Boy aynasının boy kadar olması gerektiğini sanmak; yarısı yeter ve uzaklık fark etmez.
2. Aynaya yaklaşan kişide görüntünün kişiye göre hızını 1 m/s almak; iki katıdır.
3. Ayna $\theta$ dönünce yansıyan ışının da $\theta$ döndüğünü sanmak; $2\theta$ döner.
4. Mercekte gerçek görüntüyü aynadaki gibi cisimle aynı tarafta aramak. Mercekte gerçek görüntü karşı taraftadır, aynada önde.
5. Aydınlanmayı uzaklıkla düz ters orantılı sanmak; uzaklığın karesiyle ters orantılıdır.
AYT ipucu: soruda "perdede" kelimesi geçiyorsa görüntü gerçektir, dolayısıyla terstir ve $b$ pozitiftir. "Çok uzaktaki cisim" ifadesi $a \to \infty$ demektir; görüntü odakta oluşur.
Sık sorulanlar
Kendimi tam boy görmek için aynanın boyu ne kadar olmalı?
Boyunuzun yarısı kadar. Aynanın alt kenarı göz yüksekliğinin yarısında olmalı. Aynaya olan uzaklığınız bu sonucu değiştirmez.
İki ayna arasındaki açı 60° ise kaç görüntü oluşur?
n = 360/60 − 1 = 5 görüntü oluşur.
Lambaya olan uzaklık iki katına çıkarsa aydınlanma ne olur?
Aydınlanma şiddeti uzaklığın karesiyle ters orantılı olduğu için dörtte birine iner.