Otobüs Camı Neden Belli Bir Devirde Titrer?
Bekleyen bir otobüste motor rölantideyken camlar sakindir. Şoför gaza hafifçe bastığında bir an bütün cam tıngırdamaya başlar, biraz daha basınca titreşim yine kesilir. Motor hep titreşiyordu; değişen, titreşimin frekansıydı.
Her cismin, dürtülüp serbest bırakıldığında kendiliğinden titreştiği bir doğal frekansı vardır; kütlesine, biçimine, malzemesine ve nasıl tutturulduğuna bağlıdır. Motorun titreşim frekansı camın doğal frekansına denk geldiği anda her küçük itme doğru zamanda gelir, enerji birikir ve genlik büyür. Buna rezonans denir.
Salıncağı Doğru Anda İtmek
Zincirleri 2,5 m olan bir salıncak basit sarkaç gibi davranır:
$T = 2\pi \sqrt{\dfrac{L}{g}} = 2\pi \sqrt{\dfrac{2{,}5}{10}} = 2\pi \cdot 0{,}5 \approx 3{,}14\ \text{s}$
Doğal frekansı yaklaşık $1 / 3{,}14 \approx 0{,}32$ Hz. Salıncaktaki çocuğu her 3,14 saniyede bir, hep geri döndüğü anda itersek küçük itmeler toplanır ve çocuk giderek yükselir. Rastgele aralıklarla itersek bazı itmeler hareketi hızlandırır, bazıları frenler; salıncak pek yükselmez.
Belirleyici olan kuvvetin büyüklüğü değil zamanlamasıdır. Aynı ilke başka yerlerde:
- Cam bardak: yalnız doğal frekansındaki yeterince şiddetli ses onu kırabilir.
- Köprüde asker adımı: adım frekansı köprünün doğal frekansına yakınsa salınım büyüyebilir; askerler bu yüzden köprüde adım uydurmaz.
- Radyo: ayar düğmesi alıcı devrenin doğal frekansını değiştirir; yalnız o frekanstaki istasyon güçlü bir tepki doğurur.
Grafik Okuma: Rezonans Eğrisi
Bir cismi farklı frekanslarda zorlayıp titreşim genliğini ölçelim. Genlik-zorlayıcı frekans grafiği düşük frekanslarda küçük değerle başlar, doğal frekansta keskin bir tepe yapar ve sonra yeniden düşer. Tepenin yatay eksendeki yeri cismin doğal frekansını verir.
Sürtünme ya da sönüm arttıkça tepe alçalır ve genişler. Otomobil amortisörleri ve binaların sönümleyicileri tam bunu yapar: rezonansı ortadan kaldıramasalar da tepeyi bastırırlar.
Deprem Dalgalarıyla Uzaklık Hesabı
Deprem, yer kabuğunda biriken gerilmenin fay boyunca kırılmayla aniden boşalmasıdır; enerji yerin içinden mekanik dalgalar olarak yayılır. Kırılmanın başladığı nokta odak, onun hemen üstündeki yeryüzü noktası merkez üssüdür.
- P dalgası boyunadır ve en hızlıdır; kabukta yaklaşık 6 km/s.
- S dalgası enine ve daha yavaştır; yaklaşık 3,5 km/s. Sıvılarda yayılamaz.
Çözümlü örnek: Bir istasyonda P dalgası ile S dalgası arasında 10 s fark var. Merkez ne kadar uzakta?
$\dfrac{d}{3{,}5} - \dfrac{d}{6} = 10 \Rightarrow d \cdot \dfrac{6 - 3{,}5}{21} = 10 \Rightarrow d = 84\ \text{km}$
Tek istasyon uzaklığı verir, yönü vermez. Üç istasyonun uzaklık çemberlerinin kesiştiği nokta merkez üssünü gösterir.
Erken uyarı depremi önceden bilmez; olan depremi hızla algılar. Merkeze yakın istasyon P dalgasını yakalar ve uyarı elektronik olarak neredeyse anında yayılır. 120 km uzaktaki bir kente S dalgası yaklaşık $120 / 3{,}5 \approx 34$ saniyede varır; algılama birkaç saniye sürse bile kente yirmi saniyeyi aşan bir süre kalır.
Sismograf eylemsizlikle çalışır: gövde zeminle birlikte sarsılırken yaya asılı ağır kütle yerinde kalmaya çalışır; kaydedilen, ikisi arasındaki bağıl harekettir.
Bina, Zemin ve Rezonans
Mühendislerin kaba bir kuralı var: betonarme bir binanın doğal periyodu, saniye cinsinden kat sayısının yaklaşık onda biridir. 10 katlı bina için $T \approx 1$ s ($f \approx 1$ Hz), 2 katlı bina için $T \approx 0{,}2$ s ($f \approx 5$ Hz).
Zemin de süzgeç gibi davranır. Sert kaya zemin kısa periyotlu sarsıntıyı, gevşek ve kalın alüvyon zemin ise uzun periyotlu sarsıntıyı öne çıkarır ve genliği büyütür. Alüvyon üstündeki orta ve yüksek katlı binalar bu yüzden rezonansa daha açıktır; aynı sokakta 2 katlı ev ayakta kalırken 10 katlı bina ağır hasar görebilir. Sismik yalıtıcılar binayı zeminden kısmen ayırarak periyodunu 2-3 saniyeye uzatır ve depremin baskın frekanslarından uzaklaştırır.
Büyüklük ve şiddet: Büyüklük depremde açığa çıkan enerjinin ölçüsüdür ve her deprem için tektir; 1 birim artış yaklaşık 32 kat daha fazla enerji demektir. 7 büyüklüğündeki bir deprem, 5 büyüklüğündekinden yaklaşık $32^2 \approx 1000$ kat fazla enerji salar. Şiddet ise belli bir yerdeki etkidir; uzaklığa, zemine ve yapı kalitesine göre yerden yere değişir.
Sık Yapılan Hata
- "Rezonans için büyük kuvvet gerekir." Küçük ama doğru zamanlanmış itmeler yeter.
- "Büyüklük ile şiddet aynıdır." Büyüklük tek sayıdır, şiddet yerden yere değişir.
- "En yüksek bina her depremde en çok hasar görür." Hasarı binanın doğal frekansının zemin sarsıntısının baskın frekansına yakınlığı belirler.
- "Erken uyarı depremi tahmin eder." Olmuş depremin hızlı dalgasını algılar.
Sınav ipucu: Rezonans grafiğinde tepenin yeri doğal frekanstır; "hangi frekansta en büyük genlik" sorusunun cevabı hep odur. Deprem sorusunda "ilk kaydedilen" P, "daha yıkıcı ve enine" S dalgasıdır.
Sık sorulanlar
Askerler köprüden geçerken neden adım uydurmaz?
Düzenli adımlar düzenli bir zorlayıcı titreşimdir. Frekansı köprünün doğal frekansına denk gelirse rezonans oluşur ve her adım salınıma enerji ekleyerek genliği tehlikeli düzeye çıkarabilir.
Gevşek zeminde hasar neden daha büyük olur?
Dalga sert kayadan gevşek zemine geçerken yavaşlar ve genliği büyür; gevşek zemin sarsıntıyı uzatır ve uzun periyotlu titreşimi öne çıkararak orta ve yüksek katlı binalarda rezonansa yol açabilir.
Bir cismin doğal frekansı neye bağlıdır?
Kütlesine, biçimine, malzemesinin esnekliğine ve nasıl bağlandığına. Sarkaçta ise yalnız ip uzunluğuna ve yer çekimi ivmesine bağlıdır.