11. Sınıf Serbest Düşme ve Limit Hız — Konu Anlatımı

Cetvel Testi: Tepki Süreni Ölç

Bir arkadaşınız 30 cm'lik cetveli ucundan tutsun; siz başparmak ve işaret parmağınızı cetvelin sıfır çizgisinin iki yanında, dokunmadan bekletin. O haber vermeden bıraksın, siz yakalayın. Cetvel 20 cm düştükten sonra yakaladıysanız tepki süreniz 0,2 saniyedir. Nasıl bu kadar kesin söyleyebiliyoruz?

Çünkü cetvel, bırakıldığı andan yakalanana kadar serbest düşme yaptı: ilk hızı sıfır, üzerindeki tek önemli kuvvet ağırlığı. Bu hareketin ivmesi sabittir ve $g \approx 10$ m/s²'dir. Sabit ivmeli, ilk hızsız harekette yol $h = \tfrac{1}{2}gt^2$ olduğundan:

$t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 0{,}2}{10}} = \sqrt{0{,}04} = 0{,}2 \text{ s}$

Tabloya bakın: süre 2 katına çıkınca yol 4, 3 katına çıkınca 9 katına çıkıyor. Yol sürenin karesiyle büyür.

Ağır Cetvel Daha Hızlı mı Düşer?

Çelik cetvelle plastik cetvel aynı anda bırakılsa hangisi önce düşer? Hava direnci önemsizse ikisi birlikte. Yer çekimi kuvveti $mg$ kütleyle büyür, ama o kütleyi hızlandırmak da aynı oranda zorlaşır: $a = \dfrac{mg}{m} = g$. Kütle sadeleşir.

Havası boşaltılmış tüpte tüy ile madenî paranın birlikte düşmesi bunun klasik kanıtıdır. 1971'de Ay'da bir astronot çekiç ile şahin tüyünü aynı anda bıraktı; hava olmayan yüzeyde ikisi yere birlikte vardı. Günlük hayatta tüyü geciktiren şey yer çekimi değil, hava direncidir.

Üç Bağıntı ve Tek Sayılar Kuralı

• Hız: $v = g t$. Hız her saniye 10 m/s artar.
• Yol: $h = \tfrac{1}{2} g t^2$.
• Süre bilinmiyorsa: $v^2 = 2 g h$.

Ardışık eşit zaman aralıklarında alınan yollar 1 : 3 : 5 : 7 … oranındadır. İlk saniyede 5 m, ikincide 15 m, üçüncüde 25 m. Neden tek sayılar? Her saniyenin ortalama hızı bir öncekinden 10 m/s fazladır: 5, 15, 25 m/s. Yol ortalama hız çarpı süre olduğu için yollar da böyle sıralanır.

AYT kalıbı, son saniye: 45 m'den bırakılan cisim son saniyesinde kaç metre yol alır? Toplam süre $\sqrt{2 \cdot 45 / 10} = 3$ s. Yollar 5, 15, 25 m; son saniyede 25 m. Kontrol: $5 + 15 + 25 = 45$. Tutuyor.

Daha Zor Örnek: Kuyunun Derinliği

Kuyunun ağzından bir taş bırakıyorsunuz ve suya çarpma sesini 3 saniye sonra duyuyorsunuz. Kuyu kaç metre?

İlk tahmin: $h = \tfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 3^2 = 45$ m. Ama 3 saniyenin hepsi düşüş değil; ses de yukarı çıkmak için zaman harcadı. Sesin havadaki hızı yaklaşık 340 m/s ise 45 m'yi $45/340 \approx 0{,}13$ s'de çıkar. Düşüş süresi yaklaşık $2{,}87$ s olur ve $h = 5 \cdot 2{,}87^2 \approx 41$ m. Kontrol: 41 m'yi ses $0{,}12$ s'de çıkar, $2{,}87 + 0{,}12 \approx 3$ s. Gerçek derinlik yaklaşık 41 m.

Buradan çıkan ders: sınavdaki "hava direnci önemsiz" ve "ses anında duyuluyor" gibi cümleler süs değil, modelin sınırlarını çizer.

Hız-Zaman Grafiğini Okumak

Serbest düşmenin hız-zaman grafiği orijinden çıkan bir doğrudur. Doğrunun eğimi ivmeyi verir: 0, 10, 20, 30 m/s değerlerinden eğim $10$ m/s². Doğrunun altında kalan alan ise yoldur: 3 saniyelik üçgenin alanı $\tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 30 = 45$ m.

Hava direnci işin içine girince grafik bükülür. Başta eğim yaklaşık 10'dur, sonra eğim giderek azalır ve grafik yataylaşır. Eğrinin yatay kısmı, hızın artık değişmediği yerdir.

Havada Düşmek: Limit Hız

Hava direnci hızla birlikte büyür. Başta hız küçük, direnç küçük, ivme yaklaşık $g$. Hız arttıkça direnç büyür, net kuvvet küçülür, ivme azalır; hız ise hâlâ artmaktadır. Direnç ağırlığa eşitlendiğinde net kuvvet sıfır olur ve cisim sabit hızla düşer. Bu hıza limit hız denir.

Yağmur neden insanı yaralamıyor? 1000 m yükseklikteki buluttan havasız bir ortamda düşen damla $v = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 1000} \approx 141$ m/s ile çarpardı. Gerçekte büyük damlalar yaklaşık 9 m/s'lik limit hıza ulaşır ve öyle kalır.

Limit hız ağırlık arttıkça büyür; kesit alanı ve cismin biçimi ile havanın yoğunluğu da belirleyicidir. Boyutları aynı iki toptan ağır olanın limit hızı daha büyüktür. Paraşütçü kollarını açıp yere paralel düşerken yaklaşık 55 m/s'ye ulaşır. Paraşüt açılınca direnç birden ağırlığı aşar; net kuvvet yukarı döner, paraşütçü yavaşlar ve yaklaşık 5 m/s'lik yeni limit hıza oturur.

Sık Yapılan Hatalar

1. "Paraşüt açılınca paraşütçü yukarı çıkar." Videoda öyle görünür, çünkü kamerayı tutan kişi hâlâ hızlı düşmektedir. Paraşütçünün ivmesi yukarı yönlüdür ama hızı hâlâ aşağıdır; yalnızca yavaşlar.

2. Yolu süreyle doğru orantılı sanmak. Süre iki katına çıkınca yol dört katına çıkar.

3. Limit hızda "ivme var ama hız sabit" demek. Sabit hız, ivmenin sıfır olması demektir.

4. Ağır cismin daha hızlı düştüğünü sanmak. Havasız ortamda süre kütleye bağlı değildir; fark hava direncinden gelir.

Kendin dene: Cetvel testinde 30 cm'lik cetveli hiç yakalayamayan birinin tepki süresi en az kaç saniyedir? $t = \sqrt{2 \cdot 0{,}3/10} = \sqrt{0{,}06} \approx 0{,}24$ s.

Sık sorulanlar