12. Sınıf Yay Sabiti ve Hooke Yasası — Konu Anlatımı

Havaalanında Bir Valiz Kantarı

Tatile çıkmadan önce valizini tartan biri, kantarın kancasına valizi takıp kaldırır ve göstergeden "23 kg" okur. Elindeki alet aslında kütle ölçmez; içindeki yayın ne kadar uzadığını ölçer. Üretici, uzamayı $g = 10$ m/s² varsayımıyla kilograma çevirmiştir.

Bu aletin çalışabilmesi için bir şart var: yayın uzaması, onu geren kuvvetle doğru orantılı olmalı. Esneklik sınırı aşılmadıkça bu şart sağlanır ve Hooke yasası adını alır:

$F = k \cdot x$

• $F$: yayı geren (ya da sıkıştıran) kuvvet, newton (N)
• $x$: yayın doğal boyundan sapma miktarı, metre (m)
• $k$: yay sabiti, N/m. Yayı 1 m uzatmak için gereken kuvvet; yani sertliğin ölçüsü.

Valiz kantarındaki yayın sabiti 2000 N/m olsun. 23 kg'lık valizin ağırlığı $23 \cdot 10 = 230$ N; uzama $x = \frac{230}{2000} = 0{,}115$ m, yani 11,5 cm.

Aynı kantarı Ay'a ($g \approx 1{,}6$ m/s²) götürürseniz ne olur? Valizin ağırlığı $23 \cdot 1{,}6 = 36{,}8$ N'a iner, yay daha az uzar ve kantar $36{,}8 / 10 = 3{,}68$ kg gösterir. Valizin kütlesi değişmedi; kantar ağırlıkla ayarlandığı için yanıldı.

Ölçüm Tablosundan k Bulmak

Bir öğrenci doğal boyu 20 cm olan bir yaya sırayla ağırlıklar asıyor ve yayın boyunu ölçüyor:

Her 1 N'luk artış 2 cm'lik uzama getiriyor:

$k = \dfrac{F}{x} = \dfrac{1\ \text{N}}{0{,}02\ \text{m}} = 50$ N/m

Sık yapılan hata: Tablodaki "boy" sütununu uzama sanmak. 4 N ve 28 cm'den $k = \frac{4}{0{,}28} \approx 14{,}3$ N/m bulunur ki yanlıştır. Hooke yasasındaki $x$, toplam boy değil, doğal boydan sapmadır. İkinci yaygın hata santimetreyi metreye çevirmeyi unutmaktır: $\frac{1}{2} = 0{,}5$ N/cm doğru bir sayıdır ama N/m cinsinden 50'dir.

Grafikte Eğim: Hangi Eksen Nerede?

Kuvvet düşey, uzama yatay eksendeyse grafik orijinden geçen bir doğrudur ve eğimi $k$'dir. İki yayın doğrularından dik olanı daha serttir.

Peki eksenler yer değiştirirse? Uzama düşey, kuvvet yatay eksene yazılmışsa eğim $\frac{x}{F} = \frac{1}{k}$ olur. Bu kez dik doğru yumuşak yayı gösterir. Sınav sorularında grafiğe bakmadan önce eksen etiketlerini okumak bu yüzden şarttır.

Mini soru: Kuvvet-uzama grafiğinde K yayının doğrusu 4 cm'de 8 N'a, L yayınınki 4 cm'de 2 N'a ulaşıyor. Sabitlerin oranı nedir? $k_K = \frac{8}{0{,}04} = 200$ N/m, $k_L = \frac{2}{0{,}04} = 50$ N/m; K yayı 4 kat serttir.

Yük esneklik sınırını aşınca doğru bükülmeye başlar, yay eski boyuna dönmez ve Hooke yasası geçerliliğini yitirir. Yay sabiti yayın kendi özelliğidir: tel malzemesine, kalınlığına, sarım çapına ve sarım sayısına bağlıdır; asılan yükle değişmez.

Yayları Birleştirmek

Yay sabitleri $k_1 = 300$ N/m ve $k_2 = 600$ N/m olan iki yayla 60 N'luk bir yük asılıyor.

Paralel (yan yana): İki yay aynı miktarda uzar, yük paylaşılır.

$k_{\text{eş}} = k_1 + k_2 = 900$ N/m,   $x = \dfrac{60}{900} \approx 0{,}067$ m

Kuvvet paylaşımı sertlikle orantılıdır: birinci yay $300 \cdot 0{,}067 \approx 20$ N, ikinci yay $\approx 40$ N taşır. Toplam 60 N.

Seri (uç uca): Her yay yükün tamamını hisseder, uzamalar toplanır.

$\dfrac{1}{k_{\text{eş}}} = \dfrac{1}{300} + \dfrac{1}{600} = \dfrac{3}{600} \Rightarrow k_{\text{eş}} = 200$ N/m,   $x = \dfrac{60}{200} = 0{,}3$ m

Sağlama: birinci yay $\frac{60}{300} = 0{,}2$ m, ikinci $\frac{60}{600} = 0{,}1$ m uzar; toplam 0,3 m.

Paralel bağlama sistemi sertleştirir, seri bağlama yumuşatır. Seri bağlı sistemin sabiti her zaman en yumuşak yayınkinden de küçüktür.

Yayı Kesmek: Kısa Yay Neden Serttir?

Bir yayı sarımlardan oluşan küçük yayların seri bağlanmışı gibi düşünün. Aynı kuvvette her sarım aynı miktar uzar; sarım sayısı yarıya inerse toplam uzama da yarıya iner. Buradan şu kural çıkar: yay sabiti ile boyun çarpımı sabittir ($k \cdot L = \text{sabit}$).

Mini soru: 60 N/m'lik bir yay 1'e 2 oranında iki parçaya kesiliyor. Parçaların sabitleri nedir? Kısa parça boyun $\frac{1}{3}$'ü: $k = 3 \cdot 60 = 180$ N/m. Uzun parça boyun $\frac{2}{3}$'ü: $k = \frac{3}{2} \cdot 60 = 90$ N/m. Sağlama: 180 ile 90 seri bağlanınca $\frac{1}{180} + \frac{1}{90} = \frac{3}{180}$, yani yine 60 N/m.

Araç Süspansiyonu

1000 kg'lık bir otomobil, her tekerde bir tane olmak üzere yay sabiti 25 000 N/m olan dört yaya oturuyor. Dört yay yükü birlikte taşıdığı için paralel sayılır: $k_{\text{eş}} = 4 \cdot 25\,000 = 100\,000$ N/m. Aracın ağırlığı $10\,000$ N olduğundan yaylar $\frac{10\,000}{100\,000} = 0{,}1$ m, yani 10 cm çöker. Araca toplam 300 kg'lık dört yolcu binince ek çökme $\frac{3000}{100\,000} = 0{,}03$ m olur. Kamyonlarda çok daha sert yay kullanılmasının nedeni, yükle birlikte bu çökmenin kabul edilemeyecek kadar büyümesidir.

AYT ipucu: Soruda kütle verilmişse ilk iş ağırlığı ($mg$) bulmaktır; yayı geren kütle değil kuvvettir. Kesilen yayda $k \cdot L$ sabitini kullanın; birden çok yay varsa önce bağlama türünü belirleyin.

Sık sorulanlar