12. Sınıf Yay Sarkacı ve Basit Sarkaç — Konu Anlatımı

Duvar Saatinin Sarkacı Neden Bir Metre?

Eski sarkaçlı duvar saatlerinin çoğunda sarkaç yaklaşık bir metre boyundadır. Rastlantı değil: bu boydaki bir sarkacın her yöne gidişi tam 1 saniye sürer, yani bir tam salınımı (periyodu) 2 s'dir. Saatçiler buna "saniye sarkacı" der.

İpe asılı küçük bir cisimden oluşan sarkacın periyodu şu bağıntıyla bulunur:

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$   ($L$: ip boyu, m; $g$: çekim ivmesi, m/s²; $T$: s)

$T = 2$ s isteyelim ve $L$'yi çekelim:

$L = \dfrac{gT^2}{4\pi^2} = \dfrac{9{,}8 \cdot 4}{4 \cdot 9{,}87} \approx 0{,}99$ m

Sınav hesaplarında sık kullanılan $\pi^2 \approx 10$ ve $g = 10$ m/s² yaklaşımıyla sonuç tam 1 m çıkar. İki yaklaşımın birbirini götürmesi, bu sayıların sorularda neden bu kadar çok seçildiğini de açıklar.

İki Formül, Farklı Değişkenler

Konunun asıl sorusu, formülde neyin olmadığını görmektir. Basit sarkaçta kütle yoktur: ağır cisme daha büyük geri çağırıcı kuvvet etki eder ama hızlandırılacak kütlesi de aynı oranda büyüktür, kütle sadeleşir. Yaylı düzenekte ise $g$ yoktur: yer çekimi yalnız denge noktasını aşağı kaydırır, salınımın hızını değiştirmez.

Sık yapılan hata: Karekökü unutmak. İp boyu 4 katına çıkınca periyot 4 değil $\sqrt{4} = 2$ katına çıkar. Kütle 9 katına çıkınca da yay sarkacının periyodu 3 katına çıkar. Frekans periyodun tersidir ($f = 1/T$); periyot iki katına çıkınca frekans yarıya iner.

Çözümlü Örnek ve Şaşırtıcı Bir Eşitlik

Yay sabiti 40 N/m olan bir yaya 0,4 kg'lık bir cisim asılıp titreştiriliyor. Periyot kaç saniyedir?

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}4}{40}} = 2\pi\sqrt{0{,}01} = 2\pi \cdot 0{,}1 \approx 0{,}63$ s

Şimdi yayın denge konumunda ne kadar uzadığına bakalım: $x_0 = \frac{mg}{k} = \frac{4}{40} = 0{,}1$ m. Boyu tam 0,1 m olan bir basit sarkacın periyodu nedir?

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}1}{10}} = 2\pi \cdot 0{,}1 \approx 0{,}63$ s

Aynı çıktı. Rastlantı mı? Hayır: $x_0 = \frac{mg}{k}$ olduğundan $\frac{m}{k} = \frac{x_0}{g}$ yazılabilir. Düşey asılı bir yay sarkacının periyodu, boyu yayın statik uzamasına eşit bir basit sarkacın periyoduna eşittir. Soruda $m$ ve $k$ verilmeyip yalnız "yay 10 cm uzayarak dengeye geldi" deniyorsa periyodu bu yolla bulursunuz.

Mini soru: Aynı yaydan iki tane yan yana (paralel) bağlanıp aynı cisim asılırsa periyot ne olur? $k$ iki katına çıkar, periyot $\sqrt{2}$'ye bölünür: yaklaşık 0,44 s.

Daha zor bir örnek. Boyları 0,4 m ve 0,9 m olan iki basit sarkaç aynı anda, aynı yöne çekilip bırakılıyor. İkisi ilk kez ne zaman yeniden aynı anda başlangıç konumunda olur? ($g = 10$ m/s², $\pi \approx 3{,}14$)

$T_1 = 2\pi\sqrt{0{,}04} = 2\pi \cdot 0{,}2 \approx 1{,}26$ s,   $T_2 = 2\pi\sqrt{0{,}09} = 2\pi \cdot 0{,}3 \approx 1{,}88$ s

Periyotlar 2'ye 3 oranında. Kısa sarkaç 3 tur, uzun sarkaç 2 tur attığında ikisi birlikte başa döner: $3 \cdot 1{,}26 = 2 \cdot 1{,}88 \approx 3{,}8$ s. Periyot oranını bulmak için boyların oranının karekökünü almak yetti: $\sqrt{0{,}4 / 0{,}9} = \frac{2}{3}$.

Salıncak da bir basit sarkaçtır. Çocuk oturduğu yerden ayağa kalktığında kütle merkezi yukarı çıkar, etkin ip boyu kısalır ve salıncak biraz daha hızlı sallanır. Çocuğun kütlesi değil, kütle merkezinin asılma noktasına uzaklığı önemlidir.

Asansörde, Ay'da ve Yazın

Ay'da. $g \approx 1{,}6$ m/s². İpli sarkacın periyodu $\sqrt{10/1{,}6} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5$ katına çıkar; Dünya'da 2 s olan saniye sarkacı Ay'da 5 s'de bir tur atar. Yaylı olanın periyodu ise hiç değişmez.

Yukarı ivmelenen asansörde. Asansör 2 m/s² ile yukarı hızlanırken sarkaç etkin olarak $g_{\text{etkin}} = 10 + 2 = 12$ m/s² hisseder; periyot $\sqrt{10/12} \approx 0{,}91$ katına iner. Serbest düşen bir asansörde $g_{\text{etkin}} = 0$ olur, geri çağırıcı kuvvet kalmaz ve basit sarkaç salınmayı bırakır. Aynı asansördeki yay sarkacı ise hiçbir şey olmamış gibi aynı periyotla salınmayı sürdürür.

Yazın. Metal sarkaç çubuğu ısınınca uzar. Boy %0,1 uzarsa periyot $\sqrt{1{,}001} \approx 1{,}0005$ katına, yani %0,05 artar. Bir gün 86 400 s olduğundan saat günde yaklaşık $86\,400 \cdot 0{,}0005 \approx 43$ s geri kalır. Küçük bir genleşme, bir haftada beş dakikalık hataya dönüşür.

Deneyle g Ölçmek: T² Grafiği

Periyot bağıntısının iki tarafının karesi alınırsa:

$T^2 = \dfrac{4\pi^2}{g} \cdot L$

$T$'yi $L$'ye karşı çizmek bükülen bir eğri verir; $T^2$'yi $L$'ye karşı çizmek ise orijinden geçen bir doğru verir. Doğrunun eğimi $\frac{4\pi^2}{g}$'dir. Bir öğrenci farklı ip boyları için 20'şer salınımın süresini ölçüp eğimi 4,05 s²/m bulmuş olsun:

$g = \dfrac{4\pi^2}{4{,}05} = \dfrac{39{,}48}{4{,}05} \approx 9{,}75$ m/s²

Tek salınım yerine 20 salınımın süresini ölçmek, kronometreyi başlatıp durdururken yapılan tepki hatasını 20'ye böler. Açıyı küçük (yaklaşık 10° altında) tutmak da gerekir; bağıntı yalnız küçük açılarda geçerlidir, çünkü geri çağırıcı kuvvetin sapmayla doğru orantılı sayılması ancak orada doğrudur.

AYT ipucu: Soruda "Ay'a götürüldü", "asansör hızlanıyor" gibi ifadeler varsa önce sarkacın türüne bakın: ipli sarkaç $g$'ye duyarlıdır; yay sarkacının periyodu yalnız $m$ ve $k$ ile değişir.

Sık sorulanlar