12. Sınıf Esneklik Potansiyel Enerjisi — Konu Anlatımı

Önce Bir Tuzak Soru

Yay sabiti 200 N/m olan bir yay zaten 10 cm gerilmiş durumda. Onu 30 cm'ye kadar germek için ne kadar iş yapmak gerekir?

Öğrencilerin çoğu "20 cm daha gerildi" diyerek şunu yazar:

$W = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot (0{,}2)^2 = 4$ J   (yanlış)

Cevap 4 J değil, 8 J'dür. Neden olduğunu anlamak için bağıntının nereden geldiğine bakmak gerekiyor. Konunun geri kalanı bu soruyu çözmek için gereken araçları kuruyor.

Enerji Grafiğin Altında Saklı

Yayı gererken uyguladığınız kuvvet sabit değildir: Hooke yasasına göre sıfırdan başlar ve uzamayla doğrusal artar ($F = kx$). Değişken kuvvetin işi, kuvvet-uzama grafiğinin altında kalan alandır. Doğal boydan $x$ kadar germek için bu alan bir üçgendir:

$W = \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot kx = \dfrac{1}{2}kx^2$

Bu iş yayda esneklik potansiyel enerjisi olarak depolanır:

$E_p = \dfrac{1}{2}kx^2$   ($k$: N/m, $x$: m, $E_p$: J)

$\frac{1}{2}$ çarpanının anlamı şudur: ortalama kuvvet, son kuvvetin yarısıdır.

Şimdi tuzak soruya dönelim. 10 cm'den 30 cm'ye germe işi, grafikte $x = 0{,}1$ ile $x = 0{,}3$ arasındaki yamuğun alanıdır:

$W = \dfrac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2) = \dfrac{1}{2} \cdot 200 \cdot (0{,}09 - 0{,}01) = 100 \cdot 0{,}08 = 8$ J

Yamuk yoluyla sağlama: kuvvet 20 N'dan 60 N'a çıkıyor, ortalama 40 N, yol 0,2 m: $40 \cdot 0{,}2 = 8$ J.

Sık yapılan hata: $\frac{1}{2}k(\Delta x)^2$ yazmak. Enerji uzamanın karesiyle değiştiği için $(x_2 - x_1)^2$ ile $x_2^2 - x_1^2$ aynı şey değildir. Zaten gerili yayı biraz daha germek, gevşek yayı aynı miktar germekten daha zordur, çünkü baştan büyük bir kuvvete karşı çalışırsınız.

Kare Bağımlılığın Sonucu

• Uzama 2 katına çıkarsa enerji $2^2 = 4$ katına çıkar.
• Germe yarıya inerse enerji dörtte bire iner.
• $k$ iki katına çıkar ama uzama aynı kalırsa enerji de iki kattır ($k$ karesiz girer).

İki grafiği karıştırmayın: kuvvet-uzama grafiği bir doğrudur; enerji-uzama grafiği ise orijinden başlayan bir paraboldür. Parabolün eğimi sabit değildir, uzama arttıkça dikleşir.

Şimdi bir inceliğe bakalım: yay sabitleri 100 N/m ve 400 N/m olan iki yaydan hangisi daha çok enerji depolar? Cevap, neyin eşit tutulduğuna bağlı.

• Aynı uzamada (0,1 m): $\frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 0{,}01 = 0{,}5$ J ve $\frac{1}{2} \cdot 400 \cdot 0{,}01 = 2$ J. Sert yay önde.
• Aynı kuvvette (20 N): uzamalar 0,2 m ve 0,05 m; enerjiler $\frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 0{,}04 = 2$ J ve $\frac{1}{2} \cdot 400 \cdot 0{,}0025 = 0{,}5$ J. Bu kez yumuşak yay önde.

Kuvvet ortaksa $E_p = \dfrac{F^2}{2k}$ yazılabilir; $k$ paydaya geçer.

Langırt Fırlatıcısı

Bir langırt makinesinde topu yay sabiti 400 N/m olan bir yay fırlatıyor. Oyuncu yayı 5 cm çekip bırakıyor; top 0,1 kg. Sürtünmeyi ihmal edelim.

$E_p = \frac{1}{2} \cdot 400 \cdot (0{,}05)^2 = 200 \cdot 0{,}0025 = 0{,}5$ J

$\frac{1}{2} \cdot 0{,}1 \cdot v^2 = 0{,}5 \Rightarrow v^2 = 10 \Rightarrow v \approx 3{,}2$ m/s

Oyuncu yayı 10 cm çekerse? Depolanan enerji 4 katına (2 J), $v^2$ 4 katına (40), hız ise $\sqrt{4} = 2$ katına çıkar: yaklaşık 6,3 m/s. Kısacası hız sıkışmayla doğru orantılıdır, enerji ise karesiyle.

Mini soru: Aynı yayla 0,4 kg'lık bir bilye 5 cm'lik çekişle fırlatılırsa hızı ne olur? Yayda yine 0,5 J depolanır (yay aynı, sıkışma aynı). $\frac{1}{2} \cdot 0{,}4 \cdot v^2 = 0{,}5$ ise $v^2 = 2{,}5$, $v \approx 1{,}6$ m/s. Kütle 4 kat, hız yarı.

Daha Zor: Yayın Üstüne Düşen Blok

Yay sabiti 1000 N/m olan düşey bir yayın üst ucunun 0,8 m yukarısından 2 kg'lık bir blok serbest bırakılıyor. Yay en çok ne kadar sıkışır? ($g = 10$ m/s²)

Blok yaya değdikten sonra da $x$ kadar aşağı iner. Yani toplam düşüş $0{,}8 + x$ olur. En alt noktada blok bir an durur; kinetik enerji sıfırdır:

$mg(h + x) = \dfrac{1}{2}kx^2 \Rightarrow 20(0{,}8 + x) = 500x^2$

$x = 0{,}2$ m deneyelim: sol taraf $20 \cdot 1{,}0 = 20$ J, sağ taraf $500 \cdot 0{,}04 = 20$ J. Eşitlik sağlanıyor; yay 20 cm sıkışır.

Sık yapılan hata: yükseklik kaybına $x$'i eklememek. $20 \cdot 0{,}8 = 500x^2$ yazılırsa $x \approx 0{,}18$ m bulunur; blok sıkışma sırasında da alçaldığı için bu değer eksiktir.

Asmak ile bırakmak aynı değil. Bu 2 kg'lık bloğu yayın ucuna elle yavaşça indirirseniz yay $x_0 = \frac{mg}{k} = \frac{20}{1000} = 0{,}02$ m'de dengede kalır. Bloğu yayın doğal boyunda tutup birden bırakırsanız 0,04 m'ye, yani iki katına kadar iner ve salınır. Kontrol: kaybedilen yükseklik enerjisi $20 \cdot 0{,}04 = 0{,}8$ J; yaydaki enerji $\frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 0{,}04^2 = 0{,}8$ J. Elle indirirken aradaki enerjiyi eliniz soğurmuştu.

Nerede Karşımıza Çıkar?

Okçu yayı iki kat gerdiğinde oka dört kat enerji aktarır. Tren tamponları çarpışma enerjisini kısa süreliğine yayda depolar; durma süresi uzadığı için etkiyen kuvvet küçülür. Trambolin enerji üretmez; zıplayan kişinin gitgide yükselmesi, her temasta bacaklarıyla sisteme ek enerji katmasındandır. Mekanik saatin kurma yayı ise depoladığı enerjiyi saatler boyunca azar azar verir.

Sık sorulanlar