Çemberin Denklemi
Merkezi $M(a,b)$, yarıçapı $r$ olan çemberin standart denklemi:
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
Merkez orijindeyse denklem $x^2+y^2=r^2$ biçimine iner. Standart biçimde parantez içindeki sayıların ters işaretlisi merkezi verir: $(x-1)^2+(y-2)^2=9$ çemberinin merkezi $(1,2)$, yarıçapı 3'tür.
Denklem $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ biçiminde de yazılabilir; buna genel denklem denir.
Genel Denklemden Merkez ve Yarıçap
Genel denklemde merkez ve yarıçap şöyle bulunur:
- Merkez: $\left(-\frac{D}{2},\ -\frac{E}{2}\right)$
- Yarıçap: $r=\sqrt{a^2+b^2-F}$
Örnek: $x^2+y^2-6x+8y=0$ denkleminde merkez $(3,-4)$, $r=\sqrt{9+16-0}=5$'tir.
Karekökün içi negatif çıkarsa denklem bir çember belirtmez; sıfır çıkarsa yalnız bir noktayı gösterir. Bu denetim atlanmamalıdır.
Çember ile Doğrunun Durumu
Merkezin doğruya uzaklığı $d$ ile yarıçap $r$ karşılaştırılır:
- $d > r$ → doğru çemberi kesmez
- $d = r$ → doğru çembere teğettir
- $d < r$ → doğru çemberi iki noktada keser
Aynı karşılaştırma bir noktanın konumu için de yapılır: noktanın merkeze uzaklığı yarıçaptan büyükse nokta çemberin dışında, küçükse içindedir.
Teğet ve Kiriş
Merkezi orijinde olan $x^2+y^2=r^2$ çemberinin üzerindeki $T(x_0,y_0)$ noktasındaki teğet denklemi:
$x_0x+y_0y=r^2$
Örneğin $x^2+y^2=25$ çemberinin $(3,4)$ noktasındaki teğeti $3x+4y=25$'tir.
Kiriş uzunluğu için merkezden kirişe dikme indirilir; bu dikme kirişi ortalar. Yarıçap, merkez-kiriş uzaklığı ve yarım kiriş bir dik üçgen oluşturur: $r=5$, uzaklık 3 ise yarım kiriş 4, kiriş 8 birimdir.
Sık Çıkan Durumlar
Sınavda en çok karşılaşılan özel durumlar:
- Eksene teğet çember: x eksenine teğetse $r=|b|$, y eksenine teğetse $r=|a|$.
- Çapın uçları verilmiş: merkez uçların orta noktası, yarıçap uzunluğun yarısıdır.
- Alan ve çevre: $A=\pi r^2$, $\ddot{C}=2\pi r$.
Analitik geometri, geometrik soruları cebirsel denklemlere çevirir. Bu yaklaşım sayesinde şekil çizmeden, yalnız koordinatlarla çalışarak sonuç bulunabilir.
Sık sorulanlar
Genel denklemde yarıçapın karesi negatif çıkarsa ne olur?
Denklem düzlemde hiçbir noktayı göstermez; çember yoktur. Sıfır çıkarsa yalnız merkez noktası vardır.
Teğet formülü merkezi orijinde olmayan çemberde de geçerli mi?
Doğrudan değil. Merkez kaymışsa formül (x₀−a)(x−a)+(y₀−b)(y−b)=r² biçimine genişletilir.
Bir noktanın çemberin içinde mi dışında mı olduğunu nasıl bulurum?
Noktanın merkeze uzaklığını hesapla ve yarıçapla karşılaştır: büyükse dışında, küçükse içinde, eşitse çemberin üzerindedir.