12. Sınıf Analitik Geometri (Çember) — 12. Sınıf Konu Anlatımı — Konu Anlatımı

Fıskiye Nereye Kadar Sular?

Bir bahçenin planı koordinat düzlemine çizilmiş; her birim 1 metre. Fıskiye $M(2, -3)$ noktasında ve suyu 4 metreye kadar ulaştırıyor. Suyun ulaştığı en uzak noktalar, $M$'ye uzaklığı tam 4 olan noktalardır. Bu noktaların oluşturduğu şekil çemberdir.

Bir $P(x, y)$ noktasının $M$'ye uzaklığını 4'e eşitleyelim:

$\sqrt{(x - 2)^2 + (y + 3)^2} = 4 \Rightarrow (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$

Çemberin denklemi bu kadar: uzaklık formülünün karesi. Şimdi soru şu: $P(5, 0)$'daki fidan ıslanır mı? $(5 - 2)^2 + (0 + 3)^2 = 18 > 16$. Uzaklığın karesi yarıçapın karesinden büyük, fidan çemberin dışında, kuru kalır. $Q(4, -1)$ için $4 + 4 = 8 < 16$; içeride, ıslanır.

Uzaklıktan Denkleme

İki nokta arası uzaklık: $|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. $O(0,0)$ ile $A(3,4)$ arası 5 birim; $A(1,1)$ ile $B(4,5)$ arası $\sqrt{9 + 16} = 5$ birim.

Merkezi $M(a, b)$, yarıçapı $r$ olan çemberin standart denklemi:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

• Merkez orijin, $r = 5$: $x^2 + y^2 = 25$
• $M(2, -3)$, $r = 4$: $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$
• $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$: merkez $(1, 2)$, yarıçap 3
• Denklem $x^2 + y^2 = 36$ ise yarıçap 6 (36 değil)

Genel Denklemi Tam Kareye Çevirmek

Parantezler açılınca $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ biçimi çıkar. Merkezi görmek için tam kare tamamlanır. $x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ denkleminde:

$(x - 3)^2 - 9 + (y + 4)^2 - 16 = 0 \Rightarrow (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25$

Merkez $(3, -4)$, yarıçap 5. Aynı işin formülü:

$M\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right), \qquad r = \frac12\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$

Formülü ikinci bir denklemle sınayalım: $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$ için $M(2, 3)$ ve $r = \frac12\sqrt{16 + 36 - 36} = 2$. Tam kareyle: $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4 + 9 - 9 = 4$. Aynı sonuç.

Sınır durum: $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 5 = 0$ tam kareye çevrilince $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 0$ olur; yalnız $(-1, 2)$ noktası sağlar, çember yoktur. Sabit 5 yerine 10 olsaydı sağ taraf $-5$ çıkardı; hiçbir nokta sağlamaz. Bir de şart var: $x^2$ ile $y^2$'nin katsayıları eşit olmalı ve $xy$ terimi bulunmamalı. $2x^2 + 2y^2 - 8x = 0$ gibi bir denklem önce 2'ye bölünür.

Çapın Uçları ve Eksene Teğet Çember

Çapın uçları $A(1, 2)$ ve $B(7, 10)$ ise merkez orta noktadır: $M(4, 6)$. Çap $\sqrt{36 + 64} = 10$, yarıçap 5. Denklem $(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 25$.

Eksene teğet çemberde yarıçap, merkezin o eksene uzaklığıdır:

• $M(4, 1)$ ve çember $y$ eksenine teğet: $r = |4| = 4$
• $M(2, -5)$ ve çember $x$ eksenine teğet: $r = |-5| = 5$
• İki eksene birden teğetse merkez $(a, a)$ ya da $(a, -a)$ biçimindedir, $r = |a|$

Mini soru: $y$ eksenine teğet olan ve merkezi $(-3, 2)$ olan çemberin denklemi nedir? (Cevap: $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 9$.)

Doğru ile Çember: d ile r Karşılaştırılır

Merkezin doğruya uzaklığı $d$ ise: $d > r$ kesişme yok, $d = r$ teğet, $d < r$ iki noktada keser. Nokta-doğru uzaklığı: $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.

• Çember $x^2 + y^2 = 25$, doğru $x = 7$: $d = 7 > 5$, doğru çemberi kesmez.
• Bu çember ile $3x + 4y - 25 = 0$ doğrusu: $d = \frac{25}{5} = 5 = r$, teğet.
• Doğru $3x + 4y - 10 = 0$ olursa $d = 2 < 5$ çıkar, doğru çemberi keser.

Kesen doğrunun çember içindeki parçası kiriştir. Merkezden kirişe inen dikme kirişi ortalar; yarıçap, $d$ ve yarım kiriş dik üçgen kurar. $r = 5$, $d = 3$ ise yarım kiriş 4, kiriş 8. Son örnekte $d = 2$ olduğundan yarım kiriş $\sqrt{25 - 4} = \sqrt{21}$, kiriş $2\sqrt{21} \approx 9{,}17$.

Bahçeye dönelim: bahçe çiti $x$ ekseni boyunca uzanıyor. Su kaynağı yine $M(2, -3)$'te, $r = 4$. Çite uzaklık $d = 3 < 4$, su çiti aşıyor. Islanan çit uzunluğu $2\sqrt{16 - 9} = 2\sqrt7 \approx 5{,}3$ metre.

Teğet Denklemi, Alan ve Çevre

Merkezi orijinde olan $x^2 + y^2 = r^2$ çemberinin üzerindeki $T(x_0, y_0)$ noktasında teğet: $x_0 x + y_0 y = r^2$. $x^2 + y^2 = 25$ çemberinin $(3, 4)$ noktasındaki teğeti $3x + 4y = 25$. Sağlama: yarıçapın eğimi $\frac43$, teğetin eğimi $-\frac34$; çarpımları $-1$, yani diktirler. Merkez $(a, b)$'ye kaymışsa formül $(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2$ olur.

Alan ve çevre formülleri tanıdık: $x^2 + y^2 = 16$ çemberinin sınırladığı dairenin alanı $16\pi$; yarıçapı 3 olan çemberin çevresi $6\pi$. Yarıçapı 20 m olan dairesel parkın çevresine yapılan yürüyüş yolu $40\pi \approx 125{,}7$ m.

Nerede Yanılıyoruz?

Sık yapılan hata 1: Denklemin sağındaki sayıyı yarıçap sanmak. $x^2 + y^2 = 36$ çemberinin yarıçapı 6'dır; 36, yarıçapın karesidir.

Hata 2: Merkezi işaretiyle okumak. $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 1$ çemberinin merkezi $(-2, 5)$'tir; parantezdeki sayının ters işaretlisi alınır.

Hata 3: Genel denklemde yarıçap formülünü yanlış hatırlamak. $\sqrt{D^2 + E^2 - F}$ değil, $\frac12\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$. Tam kare tamamlamak bu karışıklığı tamamen ortadan kaldırır.

AYT ipucu: Nokta ya da doğru konumu sorularında karekök almaya gerek yok; $d^2$ ile $r^2$'yi karşılaştırmak yeter. Bahçedeki fidan için de 18 ile 16'yı karşılaştırmıştık. Soruda "teğet" kelimesi geçiyorsa neredeyse her zaman kurulacak eşitlik $d = r$'dir.

Sık sorulanlar