10. Sınıf Analitik Düzlemde Doğru — Konu Anlatımı

Tabeladaki "%8" Ne Anlatıyor?

Dağ yollarında "%8 eğim" yazan sarı tabelalar görürsünüz. Anlamı şudur: yatayda 100 m ilerlediğinizde yol 8 m yükselir. Yükselmenin yatay ilerlemeye oranı $\dfrac{8}{100} = 0{,}08$, doğrunun eğimidir.

Koordinat düzleminde aynı oran iki noktadan hesaplanır:

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{\text{düşey değişim}}{\text{yatay değişim}}$

Bir rampa 12 m yatayda 1 m yükseliyorsa eğimi $\dfrac{1}{12} \approx 0{,}083$, yani yaklaşık %8,3'tür. Hangisi daha dik: bu rampa mı, tabeladaki yol mu? 0,083 büyük olduğu için rampa biraz daha diktir.

Eğim açısı $\alpha$ ise $m = \tan\alpha$. 45°'lik bir doğruda yatay ve düşey değişim eşittir, $m = \tan 45^\circ = 1$ olur. %100 eğimli yol, 45°'lik yoldur; %100'ü "dimdik duvar" sanmak yaygın bir yanılgıdır.

İki Noktadan Denkleme

$A(-1, 2)$ ve $B(3, 10)$ noktalarından geçen doğruyu yazalım. Eğim:

$m = \dfrac{10 - 2}{3 - (-1)} = \dfrac{8}{4} = 2$

Sık yapılan hata: Payda $B$'den, paydada $A$'dan başlamak: $\dfrac{10 - 2}{-1 - 3} = -2$. İşaret ters çıkar. Pay ile payda aynı noktadan başlamalı; hangi noktadan başladığınız önemli değil, $\dfrac{2 - 10}{-1 - 3}$ de 2 verir.

Eğim ve bir nokta bilinince denklem $y - y_1 = m(x - x_1)$ ile yazılır:

$y - 2 = 2(x + 1) \Rightarrow y = 2x + 4$

Kontrol için öbür noktayı koyun: $x = 3$ için $y = 10$. Doğru. Bu denklemin genel biçimi $2x - y + 4 = 0$'dır; $ax + by + c = 0$ biçiminde eğim $m = -\dfrac{a}{b} = -\dfrac{2}{-1} = 2$.

Eksenleri Kestiği Yerler ve Bir Üçgen

$2x + 3y = 12$ doğrusu $x$ eksenini nerede keser? $x$ ekseninde her noktanın ordinatı 0 olduğu için $y = 0$ yazılır: $x = 6$. $y$ eksenini kestiği yer için $x = 0$: $y = 4$.

Doğru, eksenlerle birlikte köşeleri $(0, 0)$, $(6, 0)$ ve $(0, 4)$ olan bir dik üçgen çizer. Alanı $\dfrac{6 \cdot 4}{2} = 12$ birimkaredir. Eğimi $-\dfrac{2}{3}$; negatif, yani doğru soldan sağa inmektedir.

Bir nokta doğrunun üzerinde mi? Denklemde yerine koyup bakılır. $y = 3x - 4$ üzerindeki $A(2, k)$ noktası için $k = 3 \cdot 2 - 4 = 2$.

Eğimi Sıfır Olan ve Hiç Olmayan

$y = 4$ doğrusu yataydır: üzerindeki her noktanın ordinatı 4, düşey değişim 0, eğim 0.

$x = -2$ doğrusu düşeydir. Üzerinde iki nokta alın, ör. $(-2, 1)$ ve $(-2, 5)$: $m = \dfrac{5 - 1}{-2 - (-2)} = \dfrac{4}{0}$. Sıfıra bölme tanımsızdır; düşey doğrunun eğimi tanımsızdır. $A(0, 0)$ ve $B(0, 7)$ noktalarından geçen doğru da budur: $y$ ekseninin kendisi.

"Eğimi yok" ile "eğimi sıfır" farklı şeylerdir. Tabelaya dönersek: %0 eğimli yol dümdüz bir ovadır, eğimi tanımsız olan ise duvardır.

Paralel mi, Dik mi, Çakışık mı?

$y = 3x + 1$ ile $y = 3x - 5$ doğrularının eğimleri eşit, $y$ eksenini kestikleri noktalar farklı: bu iki doğru paraleldir, hiç kesişmez.

Eğimler eşit diye doğrular çakışık olmaz. $y = 3x + 1$ ile $6x - 2y + 2 = 0$ doğrularına bakın: ikincisi düzenlenince $y = 3x + 1$ çıkar. Eğim de kesim noktası da aynı; bunlar tek bir doğrunun iki yazılışıdır. Çakışık olmak için ikisi birden eşit olmalı.

Dik doğrularda eğimlerin çarpımı $-1$'dir. Eğimi 4 olan doğruya dik doğrunun eğimi $-\dfrac{1}{4}$'tür.

Eğimler farklıysa doğrular tek noktada kesişir. $y = x + 2$ ile $y = -2x + 8$ için $x + 2 = -2x + 8$, $x = 2$ ve $y = 4$. Kesişim noktası $(2, 4)$.

Uzaklık: Koordinatlarda Pisagor

$A(1, 2)$ ile $B(4, 6)$ arasında yatay fark 3, düşey fark 4'tür. Bu iki fark bir dik üçgenin dik kenarlarıdır:

$|AB| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

$P(-6, 8)$ noktasının orijine uzaklığı da aynı yolla $\sqrt{36 + 64} = 10$'dur. $A(2, 3)$ ile $B(8, 7)$'nin orta noktası koordinatların ortalamasıdır: $(5, 5)$.

Bir noktanın bir doğruya uzaklığı, o noktadan doğruya inilen dikmenin boyudur. Düz bir yol $3x + 4y - 1 = 0$ doğrusu, bir ev $P(1, 2)$ noktası olsun (birimler km):

$d = \dfrac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{10}{5} = 2$ km

Evden yola en kısa yürüyüş 2 km'dir. Paydaki mutlak değer uzaklığın negatif çıkmasını engeller.

Grafikte Eğim Hız Olunca

Bir araç 0. saatte 0 km'de, 2. saatte 160 km'de. Zaman yatay, yol düşey eksende ise doğrunun eğimi $\dfrac{160 - 0}{2 - 0} = 80$ olur. Birimi km/sa'tir: eğim burada hız demektir. Daha dik doğru daha hızlı aracı gösterir.

Sınav ipucu: "Eğimleri eşit, öyleyse çakışıktır" diyen bir öğrenci çıkarımı sorulursa eksik olan, kesim noktalarının karşılaştırılmasıdır. Soruda düşey doğru varsa eğim formülüne girmeden önce paydanın sıfır olup olmadığına bakın.

Sık sorulanlar