12. Sınıf Belirli İntegral ve Alan Hesabı — Konu Anlatımı

Kenarı Dere Olan Tarlanın Alanı

Bir tarlanın alt kenarı düz bir yol, üst kenarı ise kıvrılan bir dere. Harita üzerinde yol $x$ ekseni, dere $y = 6x - x^2$ eğrisi; tarla $x = 0$ ile $x = 6$ arasında. Birimler 10 metre, yani 1 birim kare 100 m². Tapu memuru alanı soruyor ama şekil ne dikdörtgen ne üçgen.

İlk fikir: tarlayı dikdörtgen şeritlere bölmek. Genişliği 2 olan üç şerit alalım ve her şeridin yüksekliğini şeridin ortasındaki noktadan ölçelim:

Tahmin 38 birim kare. Şeritleri inceltirsek tahmin gerçek değere yaklaşır; şerit sayısı sonsuza giderken toplamın yaklaştığı sayıya belirli integral diyoruz. Birazdan gerçek değerin 36 olduğunu göreceğiz.

Dikdörtgenler Neden Hep Biraz Yanılır?

$\int_0^2 x^2\,dx$ için genişliği 0,5 olan dört şerit alalım. Yüksekliği şeritlerin sağ ucundan alırsak $0{,}5\,(0{,}25 + 1 + 2{,}25 + 4) = 3{,}75$; sol ucundan alırsak $0{,}5\,(0 + 0{,}25 + 1 + 2{,}25) = 1{,}75$ buluruz. Gerçek değer $\frac83 \approx 2{,}67$ bu ikisinin arasında.

Artan bir fonksiyonda sağ uç fazla, sol uç eksik sayar. Şerit sayısı arttıkça iki tahmin birbirine ve gerçek değere yaklaşır. Bu toplamlara Riemann toplamı denir; integralin tanımı budur.

Temel Teorem: Şeritleri Saymadan Hesaplamak

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, burada $F' = f$. Alanı hesaplamak ters türev bulmaya indirgenir. Belirsiz integral bir fonksiyon ailesi ($+C$ içerir), belirli integral bir sayıdır; $+C$ iki uçta da bulunduğu için çıkarmada sadeleşir.

Tarlaya dönelim:

$\int_0^6 (6x - x^2)\,dx = \left[3x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^6 = 108 - 72 = 36$

36 birim kare, yani 3600 m². Şerit tahmini (38) fena değilmiş.

• $\int_0^2 3x^2\,dx = [x^3]_0^2 = 8$
• $\int_1^3 (2x + 1)\,dx = [x^2 + x]_1^3 = 12 - 2 = 10$
• $f(x) = 2x$, $0 \le x \le 3$: $[x^2]_0^3 = 9$. Sağlama: taban 3, yükseklik 6 olan üçgen, alan 9.
• $f(x) = x$, $0 \le x \le 4$: alan 8.

Özellikler Hesap Kısaltır

• $\int_a^b f = -\int_b^a f$: integral yön taşır.
• $\int_a^a f = 0$: genişliği sıfır bölgenin alanı sıfır.
• $\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$: bölge parçalara ayrılabilir.

Parçalı fonksiyonda aralık bölmek zorunludur. $f(x) = x$ ($x \le 2$) ve $f(x) = 2$ ($x > 2$) için $\int_0^4 f = \int_0^2 x\,dx + \int_2^4 2\,dx = 2 + 4 = 6$.

Ortalama değer: $f_{ort} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$. $f(x) = x^2$ için $[0, 3]$'te integral 9, ortalama $\frac93 = 3$. Yüksekliği 3 olan dikdörtgen, eğrinin altındaki alanla aynı alanı kaplar.

Simetri: Tek fonksiyonun simetrik aralıkta integrali sıfırdır: $\int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0$. Çift fonksiyonda iki yarı eşittir: $\int_{-2}^{2} x^2\,dx = 2 \cdot \frac83 = \frac{16}{3}$.

İntegral Sıfır, Alan Sıfır Değil

$f(x) = x^2 - 2x$ fonksiyonunun $[0, 3]$'teki integrali:

$\left[\frac{x^3}{3} - x^2\right]_0^3 = (9 - 9) - 0 = 0$

Grafiğe bakınca durum farklı. Fonksiyon $[0, 2]$'de eksenin altında, $[2, 3]$'te üstünde. Parça parça hesaplayalım:

• $\int_0^2 (x^2 - 2x)\,dx = \frac83 - 4 = -\frac43$
• $\int_2^3 (x^2 - 2x)\,dx = 0 - \left(-\frac43\right) = \frac43$

İntegral işaretli toplamdır: $-\frac43 + \frac43 = 0$. Gerçek alan mutlak değerlerin toplamıdır: $\frac43 + \frac43 = \frac83$. Soru "alan" diyorsa önce fonksiyonun sıfırlarını bulun, aralığı oradan bölün.

İki Eğri Arasında: Üstteki Eksi Alttaki

$A = \int_a^b [f(x) - g(x)]\,dx$, burada $f$ üstteki eğri. Sınırlar çoğu zaman eğrilerin kesişim noktalarıdır.

$y = 4$ ile $y = x^2$ arasında: kesişim $x^2 = 4$, $x = \pm 2$. $\int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \left(8 - \frac83\right) - \left(-8 + \frac83\right) = \frac{32}{3}$

Daha zoru, $y = x + 2$ doğrusu ile $y = x^2$ parabolü: $x^2 = x + 2$, yani $x = -1$ ya da $x = 2$. Aradaki bir noktada ($x = 0$) doğru 2'de, parabol 0'da; üstteki doğru.

$\int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac76\right) = \frac92$

Birikim, Yanılgılar ve AYT İpucu

İntegral yalnız alan değil, birikimdir. Bir depoya $Q(t) = 20 + 4t$ litre/dakika debiyle su akıyorsa ilk 10 dakikada biriken su $\int_0^{10} (20 + 4t)\,dt = 200 + 200 = 400$ litre. Debi sabit olsaydı çarpma yeterdi; değiştiği için integral gerekiyor. Hızı $v(t)$ olan cismin aldığı yol da aynı mantıkla $\int v(t)\,dt$'dir.

Sık yapılan hata: Eksenin altına inen fonksiyonda integrali doğrudan alan sanmak. $x^2 - 2x$ örneğinde integral 0, alan $\frac83$ idi.

Farkı ters kurmak: "Alttaki eksi üstteki" yazılırsa sonuç negatif çıkar; negatif alan görünce kurulumu kontrol edin.

Kesişimleri atlamak: İki eğri aralık içinde yer değiştiriyorsa integral kesişim noktasından bölünmelidir.

AYT ipucu: Grafikli sorularda bölge üçgen, yamuk ya da dikdörtgense integral almadan geometriyle bulun; hem hızlı hem sağlama olur. Mini soru: $\int_{-3}^{3} (x^5 + 2)\,dx$ kaçtır? $x^5$ tek, katkısı 0; kalan $2 \cdot 6 = 12$.

Sık sorulanlar