8. Sınıf Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler — Konu Anlatımı

Cebirsel İfade Nedir?

İçinde en az bir değişken (bilinmeyen) bulunan matematiksel ifadelere cebirsel ifade denir: $3x + 5$, $x^2 - 4$, $2a + 3b$. Toplama ya da çıkarma işaretiyle ayrılan her parçaya terim, değişkenin önündeki sayıya katsayı, değişken içermeyen terime sabit terim denir.

Örneğin $4x^2 - 3x + 7$ ifadesinde üç terim vardır; $x^2$'nin katsayısı 4, $x$'in katsayısı $-3$, sabit terim 7'dir. Değişkene bir değer verilince ifadenin değeri hesaplanır: $x = 2$ için $4 \cdot 4 - 3 \cdot 2 + 7 = 17$.

Yalnızca benzer terimler, yani değişkeni ve üssü aynı olan terimler toplanabilir: $3x + 5x = 8x$ ve $2x^2 - x^2 = x^2$. Buna karşılık $3x + 5y$ ya da $x^2 + x$ sadeleşmez.

Cebirsel İfadelerle Çarpma

Tek terimli ile çok terimli: dıştaki terim parantezin içindeki her terimle ayrı ayrı çarpılır (dağılma özelliği): $3x(2x - 5) = 6x^2 - 15x$.

İki terimli ile iki terimli: birinci parantezin her terimi ikinci parantezin her terimiyle çarpılır; toplam dört çarpım oluşur, sonra benzer terimler toplanır:

$(x + 3)(x - 2) = x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6$

Bu çarpım bir dikdörtgenin alanı olarak da düşünülebilir: kenarları $(x + 3)$ ve $(x - 2)$ olan dikdörtgen dört parçaya bölünür; parçaların alanları toplamı çarpımın sonucunu verir.

Özdeşlik Nedir?

Değişkenin her değeri için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir. $2(x + 3) = 2x + 6$ bir özdeşliktir; $x$ yerine hangi sayıyı koyarsan koy iki taraf eşit çıkar. $2x + 6 = 10$ ise bir denklemdir; yalnızca $x = 2$ için doğrudur.

Bir eşitliğin özdeşlik olup olmadığını denemek için iki farklı değer koymak iyi bir kontroldür; bir tek değerde bile eşitlik bozuluyorsa o eşitlik özdeşlik değildir.

Üç Temel Özdeşlik

• İki terim toplamının karesi: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• İki terim farkının karesi: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• İki kare farkı: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

İlk özdeşliğin nereden geldiğini bir kare çizerek görebilirsin: kenarı $a + b$ olan kareyi, kenarları $a$ ve $b$ olacak şekilde dört parçaya böl. Bir $a^2$ karesi, bir $b^2$ karesi ve alanı $ab$ olan iki dikdörtgen oluşur. Ortadaki $2ab$ işte bu iki dikdörtgenden gelir.

Çarpanlara Ayırma

Çarpanlara ayırma, çarpmanın tersidir: toplam biçimindeki bir ifade, çarpım biçiminde yazılır. 8. sınıfta iki yol kullanılır:

• Ortak çarpan parantezine alma: $6x^2 - 9x = 3x(2x - 3)$. Her terimde bulunan en büyük ortak çarpan (burada $3x$) dışarı alınır.
• Özdeşlikleri kullanma: $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$, $4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3)$, $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$, $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.

Bir üç terimlinin tam kare olup olmadığını anlamak için baştaki ve sondaki terimin kareköklerini al, çarpımlarının iki katının ortadaki terime eşit olup olmadığına bak. $x^2 + 10x + 25$ için $2 \cdot x \cdot 5 = 10x$; tutuyor.

Özdeşlikle Hızlı Hesap

Özdeşlikler yalnızca cebir için değil, sayısal işlemi kısaltmak için de kullanılır:

• $101^2 = (100+1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$
• $99^2 = (100-1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$
• $53^2 - 47^2 = (53-47)(53+47) = 6 \cdot 100 = 600$
• $2025^2 - 2024^2 = (2025 - 2024)(2025 + 2024) = 4049$

Çözümlü Örnek 1: Toplam ve Çarpımdan Kareler Toplamı

Soru: $a + b = 7$ ve $a \cdot b = 10$ ise $a^2 + b^2$ kaçtır?

1. Toplamın karesi özdeşliğini yaz: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
2. Bilinenleri yerine koy: $7^2 = a^2 + b^2 + 2 \cdot 10$.
3. $49 = a^2 + b^2 + 20$, buradan $a^2 + b^2 = 29$.
4. Kontrol: $a = 5$, $b = 2$ bu koşulları sağlar ve $25 + 4 = 29$ eder.

Çözümlü Örnek 2: Kesilen Karton

Soru: Kenarı $(x + 4)$ cm olan kare bir kartonun köşesinden kenarı $x$ cm olan bir kare kesilip atılıyor. Kalan parçanın alanını veren ifade nedir? $x = 6$ için alan kaç cm² olur?

1. Kalan alan = büyük kare − küçük kare $= (x + 4)^2 - x^2$.
2. İki kare farkını uygula: $(x + 4 - x)(x + 4 + x) = 4 \cdot (2x + 4) = 8x + 16$.
3. Aynı sonuç açarak da bulunur: $x^2 + 8x + 16 - x^2 = 8x + 16$.
4. $x = 6$ için $8 \cdot 6 + 16 = 64$ cm². Kontrol: $10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$.

Sık Yapılan Hatalar

• Ortadaki terimi unutmak. $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$: $(3+4)^2 = 49$, ama $3^2 + 4^2 = 25$.
• Farkın karesini iki kare farkıyla karıştırmak. $(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25$ olur; $x^2 - 25$ değildir. Sabit terim her zaman $+25$'tir.
• Eksiyi parantezin tamamına dağıtmamak. $-(x - 3) = -x + 3$ olur; $-x - 3$ değildir.
• Çarpmada üssü unutmak. $3x \cdot 2x = 6x^2$ olur; $6x$ değildir.
• İki kare toplamını ayırmaya çalışmak. $x^2 + 9$ gerçek sayılarla çarpanlara ayrılmaz; yalnızca iki kare farkı ayrılır.

LGS'de Bu Konu Nasıl Sorulur?

LGS'de bu konu büyük ölçüde alan modeli üzerinden sorulur. Cebir karoları, kare ve dikdörtgen kartonlar ya da bahçe planları verilir; senden şeklin alanını ya da kenar uzunluklarını cebirsel ifade olarak yazman istenir.

• Alandan kenara: alanı $4x^2 + 12x + 9$ olan bir karenin kenarı, tam kare özdeşliğiyle $2x + 3$ bulunur.
• Parçaların birleşimi: birkaç kare ve dikdörtgen kartonun yan yana konmasıyla oluşan şeklin alanını çarpım olarak yazma.
• Hızlı hesap: $78^2 - 22^2$ gibi işlemleri iki kare farkıyla bir çarpmaya indirme ($56 \cdot 100 = 5600$).
• Özdeşlik mi değil mi: verilen eşitliklerden hangilerinin her değer için doğru olduğunu belirleme.

İpucu: seçeneklerden emin olamadığında değişkene küçük bir değer ver (ör. $x = 1$) ve soru ifadesiyle seçenekleri karşılaştır. Farklı sonuç veren seçenek kesinlikle yanlıştır.

Özet

• Yalnızca benzer terimler toplanır ve çıkarılır.
• Çarpmada her terim diğer parantezdeki her terimle çarpılır.
• Özdeşlik her değer için, denklem yalnızca bazı değerler için doğrudur.
• Toplamın ve farkın karesinde ortadaki $2ab$ terimi unutulmaz.
• Çarpanlara ayırmada önce ortak çarpana, sonra özdeşliklere bakılır.

Sık sorulanlar