7. Sınıf Çokgenler — Konu Anlatımı

Bildiğiniz Tek Bağıntıdan Başlayalım

Dikdörtgenin alanını biliyorsunuz: $\text{kısa kenar} \times \text{uzun kenar}$. Bu konudaki bütün yeni bağıntılar bundan türeyecek — ezberlemeniz gereken dört ayrı formül yok, bir tane var ve gerisi ondan çıkıyor.

Eşkenar dörtgen. Köşegenleri boyunca kesip parçaları yeniden dizerseniz elinizde kenarları köşegenlerin yarısı kadar olan bir dikdörtgen kalır. Bu yüzden:

$A = \frac{e \cdot f}{2}$   ($e$ ve $f$ köşegenler)

Köşegenleri 8 cm ve 6 cm olan eşkenar dörtgende alan $\frac{8 \cdot 6}{2} = 24$ cm²'dir.

Yamuk. İki yamuğu ters çevirip birleştirirseniz bir paralelkenar olur; tabanı $(a + b)$, yüksekliği $h$. Bir yamuk onun yarısıdır:

$A = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$

Paralel kenarları 10 cm ve 6 cm, yüksekliği 4 cm olan yamukta: $\frac{(10 + 6) \cdot 4}{2} = 32$ cm².

Yükseklik Nerede? — Konunun Asıl Tuzağı

Alan bağıntılarındaki $h$ her zaman tabana dik uzunluktur. Şeklin yan kenarı değildir.

Bir yamukta yan kenar 5 cm, yükseklik 4 cm olabilir; bağıntıya giren 4'tür. Soru çoğu zaman her ikisini birden verir ve hangisini seçeceğinizi ölçer.

Peki neden yan kenar değil de dik uzunluk? Çünkü alanı hesaplarken şekli dikdörtgene çeviriyoruz ve dikdörtgenin kenarları birbirine diktir. Eğik bir uzunlukla çarparsanız gerçekte olmayan bir alan eklemiş olursunuz.

Burada duralım ve küçük bir soru soralım: Tabanı 12 cm, yüksekliği 5 cm, yan kenarı 13 cm olan bir üçgenin alanı kaçtır?

Cevap: $\frac{12 \cdot 5}{2} = 30$ cm². 13 sayısı soruya bilerek konmuş bir dikkat dağıtıcıdır.

Üçgende Üç Farklı Doğru

Adları benzediği için karıştırılan üç kavram var. Üçü de bir köşeden çıkar ama farklı yerde biter:

• Kenarortay: Köşeden karşı kenarın orta noktasına gider. Kenarı iki eşit parçaya böler.
• Açıortay: Köşedeki açıyı iki eşit parçaya böler. Karşı kenarı ortadan bölmek zorunda değildir.
• Yükseklik: Köşeden karşı kenara dik iner. Açıyla da kenarın ortasıyla da ilgisi yoktur.

Eşkenar üçgende üçü de çakışır — bu yüzden eşkenar üçgenle çalışırken fark görünmez ve konu kolay sanılır. Çeşitkenar üçgende üçü ayrı ayrı yerlerdedir.

Kenarortay bir üçgeni eşit alanlı iki üçgene böler: tabanları eşit (çünkü orta nokta), yükseklikleri ortak. Bu bilgi alan sorularında sık kullanılır.

Daha Zor Bir Örnek: Parçalara Ayırarak Alan

Düzgün olmayan bir şeklin alanı sorulduğunda yapılacak tek şey var: onu bildiğiniz şekillere bölmek.

Bir arsa, kenarları 12 m ve 8 m olan bir dikdörtgen ile onun kısa kenarına yapışık, tabanı 8 m ve yüksekliği 5 m olan bir üçgenden oluşuyor. Arsanın alanı kaç m²'dir?

1. Dikdörtgen: $12 \cdot 8 = 96$ m²
2. Üçgen: $\frac{8 \cdot 5}{2} = 20$ m²
3. Toplam: $96 + 20 = 116$ m²

Üçgenin tabanı olarak 8'i aldık, çünkü üçgen o kenara yapışık. Yükseklik 5, o tabana dik uzunluk. Eğer soru "üçgenin yan kenarı 6 m" deseydi bu sayı işleme hiç girmeyecekti.

Sınır durum — aynı alan, farklı şekil. Tabanı ve yüksekliği aynı olan bütün üçgenlerin alanı eşittir; tepe noktası tabana paralel bir doğru üzerinde kaydırılsa bile alan değişmez, çünkü yükseklik aynı kalır. Bu yüzden "hangi üçgenin alanı daha büyüktür" sorusunda şeklin görünüşüne değil, taban ve yükseklik sayılarına bakılır — geniş görünen üçgen daha büyük alanlı olmak zorunda değildir.

Gerçek Hayat ve Sık Yapılan Hatalar

Bir bahçenin yamuk biçiminde olduğunu düşünün: paralel kenarları 20 m ve 14 m, aralarındaki dik uzaklık 8 m. Metrekaresi 45 TL'den çim serilecek.

Alan: $\frac{(20 + 14) \cdot 8}{2} = 136$ m². Maliyet: $136 \cdot 45 = 6.120$ TL.

Sık yapılan hata 1: Yamuk alanında ikiye bölmeyi unutmak. $(a+b) \cdot h$ sonucu yamuğun değil, iki yamuğun alanıdır.

Sık yapılan hata 2: Eşkenar dörtgende kenar uzunluğuyla köşegeni karıştırmak. Bağıntıya köşegenler girer; dört kenarı eşit diye kenar uzunluğunu çarpmak yanlıştır.

Sık yapılan hata 3: Açıortayın kenarı ortadan böldüğünü sanmak. Böler diye bir kural yoktur; kenarı ortadan bölen kenarortaydır.

Sınav ipucu: Şekilli alan sorularında verilen her uzunluğu şeklin üstüne yazın ve dik olanı işaretleyin. Soruların çoğu fazladan uzunluk vererek yanlış çarpanı seçmenizi bekler.

Özet: Bütün bağıntılar dikdörtgenden türer. $h$ daima diktir. Kenarortay–açıortay–yükseklik üç ayrı şeydir.

Sık sorulanlar