Limit Nedir?
$\lim_{x \to a} f(x) = L$ demek, $x$ değeri $a$'ya yaklaşırken $f(x)$'in $L$'ye yaklaşması demektir.
Önemli: limit, fonksiyonun $a$ noktasındaki değeriyle ilgili değildir. Fonksiyon o noktada tanımsız olsa bile limiti olabilir.
$f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}$ fonksiyonu $x=1$'de tanımsızdır ama $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$'dir.
Tek Yönlü Limitler
Soldan limit: $\lim_{x \to a^-} f(x)$
Sağdan limit: $\lim_{x \to a^+} f(x)$
Limitin var olması için soldan ve sağdan limitin eşit olması gerekir.
Parçalı fonksiyonlarda ve mutlak değerli ifadelerde kritik nokta budur: $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ soldan $-1$, sağdan $+1$ olduğu için yoktur.
Belirsizlik Durumları
$\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$ belirsizliktir; doğrudan sonuç vermez.
Çözüm yolları: çarpanlara ayırma, eşlenikle genişletme, en büyük dereceli terime bölme.
$\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2+1}{2x^2-x}$: pay ve payda $x^2$'ye bölünür → $\frac{3}{2}$
Sonsuzda rasyonel fonksiyonun limiti, derecelere bakılarak da bulunur.
Sık Yapılan Hata
Limiti fonksiyonun o noktadaki değeri sanmak. Fonksiyon o noktada tanımsız olsa bile limiti olabilir.
İkinci hata: $\frac{0}{0}$ sonucunu "limit yok" ya da "sıfır" saymak — bu bir belirsizliktir ve işlemin sürdürülmesi gerektiğini gösterir.
Sık sorulanlar
Fonksiyon bir noktada tanımsızsa limiti olabilir mi?
Evet. Limit, noktaya yaklaşırken davranışı inceler; o noktadaki değerle ilgilenmez.
Limitin var olma koşulu nedir?
Soldan ve sağdan limitlerin birbirine eşit olmasıdır.