12. Sınıf Süreklilik — Konu Anlatımı

Kalemi Kaldırmadan Çizebilir misiniz?

Bir otoparkın tarifesi: ilk saat 40 TL, sonra her başlayan saat için 25 TL. 59 dakika kalan 40 TL, 61 dakika kalan 65 TL öder. Ücret grafiğini çizmeye kalkarsanız 1. saatte, 2. saatte, 3. saatte kalemi kaldırıp bir basamak yukarıdan devam etmek zorunda kalırsınız.

Bir sabahın sıcaklık grafiği öyle değildir. Saat 06.00'da 8 °C, 12.00'de 18 °C ölçülmüşse sıcaklık 8'den 18'e bir anda sıçramamıştır; aradaki her değerden geçmiştir. İlk grafik süreksiz, ikincisi sürekli.

"Kalemi kaldırmadan çizmek" iyi bir sezgi ama sınavda işe yaramaz; bir fonksiyonun bir noktada sürekli olup olmadığını denetlemek için ölçülebilir bir tanım gerekir.

Üç Soruluk Denetim

$f$ fonksiyonu $x = a$ noktasında süreklidir ancak ve ancak şu üç sorunun cevabı "evet"se:

1. $f(a)$ tanımlı mı?
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ var mı? (Soldan ve sağdan limit eşit mi?)
3. Bu limit $f(a)$'ya eşit mi?

Otopark örneğinde $x = 1$ saat için: $U(1) = 40$ tanımlı (1. soru evet), ama soldan limit 40, sağdan limit 65 (2. soru hayır). Denetim ikinci soruda biter.

Sık yapılan hata: Limitin varlığını süreklilik için yeterli sanmak. $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ fonksiyonunun $x \to 3$ iken limiti 6'dır; ama $f(3)$ tanımsız olduğu için 1. soru "hayır" der ve fonksiyon 3'te sürekli değildir. Tersine, $f(a)$ tanımlı diye sürekli demek de yanlış: otoparkta $U(1)$ tanımlıydı.

Süreksizliğin Üç Görünümü

Hangi sorunun "hayır" verdiğine göre süreksizlik üç türlü görünür:

• Kaldırılabilir (delik): limit var, ama $f(a)$ ya tanımsız ya da limitten farklı. $\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ grafiği $y = x + 3$ doğrusudur, yalnız $(3, 6)$ noktası boştur. Tek noktayı tanımlayarak onarılır: $f(3) = 6$ dersek fonksiyon sürekli olur. "Kaldırılabilir" adı bundan gelir.
• Sıçrama: soldan ve sağdan limit var ama farklı. Otopark, kargo ve vergi dilimleri gibi basamaklı tarifeler böyledir. Tek nokta tanımlamakla onarılamaz.
• Sonsuz: $x \to a$ iken fonksiyon sınırsız büyür. $f(x) = \frac{1}{x - 1}$ grafiği $x = 1$'de düşey asimptota yaklaşır; soldan $-\infty$, sağdan $+\infty$.

Bir de şunu sorun: $f(x) = \frac{1}{x - 1}$, $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ tanım kümesinin her noktasında sürekli midir? Evet. Tanım kümesinde olmayan bir noktada süreklilik sorulmaz; "1'de süreksiz" demek, grafiğin orada kopuk olduğunu anlatan bir alışkanlıktır.

Parçalı Fonksiyonu Birleştirmek

Sınavın en sık kalıbı: bir parametre verilir, fonksiyonun her yerde sürekli olması istenir.

$f(x) = \begin{cases} ax + 1, & x < 2 \\ x^2 - a, & x \geq 2 \end{cases}$

Parçaların her biri polinom olduğundan kendi aralığında zaten süreklidir. Tek şüpheli nokta birleşme yeri, $x = 2$:

• Soldan limit: $2a + 1$
• Sağdan limit ve $f(2)$: $4 - a$

$2a + 1 = 4 - a \Rightarrow 3a = 3 \Rightarrow a = 1$

Kontrol: $a = 1$ için soldan $3$, sağdan $3$, $f(2) = 4 - 1 = 3$. Üç soru da "evet".

Ek bilgi: sürekli iki fonksiyonun toplamı, farkı ve çarpımı süreklidir; bölümleri ise paydanın sıfır olmadığı her noktada süreklidir. Bu yüzden polinomlar her yerde, rasyonel fonksiyonlar paydayı sıfırlamayan her yerde süreklidir.

Ara Değer Teoremiyle Kök Avı

Sabah sıcaklığı 8'den 18'e çıktıysa arada bir an 13 °C olmuştur. Matematikteki adı ara değer teoremi: $f$, $[a, b]$ aralığında sürekliyse $f(a)$ ile $f(b)$ arasındaki her değeri en az bir kez alır. En çok kullanılan hâli: uçlarda zıt işaret varsa arada en az bir kök vardır.

$x^3 + x - 1 = 0$ denkleminin kökünü formülle bulamayız, ama yerini daraltabiliriz. $f(x) = x^3 + x - 1$ bir polinom, dolayısıyla sürekli.

• $f(0) = -1$, $f(1) = 1$ → kök $(0, 1)$ aralığında
• $f(0{,}5) = 0{,}125 + 0{,}5 - 1 = -0{,}375$ → kök $(0{,}5; 1)$ aralığında
• $f(0{,}75) \approx 0{,}422 + 0{,}75 - 1 = 0{,}172$ → kök $(0{,}5; 0{,}75)$ aralığında

Her adımda aralık yarıya iniyor; hesap makineleri kökü aşağı yukarı bu yolla buluyor.

Sınır durum — teorem neden süreklilik ister? $g(x) = \frac{1}{x}$ için $g(-1) = -1$ ve $g(1) = 1$; uçlarda zıt işaret var. Ama $\frac{1}{x} = 0$ denkleminin hiç kökü yoktur. Fonksiyon işaretini sıfırdan geçerek değil, $x = 0$'daki kopukluktan atlayarak değiştirmiştir. Aralıkta tek bir süreksizlik noktası teoremi geçersiz kılar.

Teorem kök sayısını da söylemez: "en az bir" der. $[-2, 2]$ aralığında $x^3 - x$ fonksiyonu uçlarda $-6$ ve $6$ alır ve arada üç kökü vardır ($-1$, $0$, $1$).

Sınav ipucu: "Her $x$ gerçel sayısı için sürekli ise" ifadesi görülürse iş, parçaların birleştiği noktalarda sol limit = sağ limit = fonksiyon değeri denklemini kurmaktır. "Aşağıdaki aralıklardan hangisinde kesinlikle kök vardır" sorusunda ise uç değerleri hesaplayıp işaret değişimine bakın — ama önce aralıkta süreksizlik olmadığından emin olun.

Sık sorulanlar