Süreklilik Koşulları
$f$ fonksiyonunun $x = a$ noktasında sürekli olması için üç koşul birden sağlanmalıdır:
1. $f(a)$ tanımlı olmalı
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ var olmalı
3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ olmalı
Üçünden biri sağlanmazsa fonksiyon o noktada süreksizdir.
Sezgisel karşılığı: grafiği kalemi kaldırmadan çizebilmek.
Süreksizlik Türleri
Kaldırılabilir süreksizlik: limit var ama $f(a)$ tanımsız ya da farklı. Grafikte tek bir "delik" görülür.
Sıçrama süreksizliği: soldan ve sağdan limitler var ama eşit değil. Parçalı fonksiyonlarda görülür.
Sonsuz süreksizlik: limit sonsuza gider; düşey asimptot vardır.
Ara Değer Teoremi
$f$, $[a, b]$ aralığında sürekli ve $f(a)$ ile $f(b)$ zıt işaretliyse, bu aralıkta en az bir kök vardır.
Bu teorem, denklem kökünün yerini daraltmak için kullanılır: işaret değiştiren aralık bulunur, sonra ikiye bölünerek yaklaşılır.
Süreklilik koşulu zorunludur; süreksiz bir fonksiyon işaret değiştirdiği hâlde kök içermeyebilir.
Sık Yapılan Hata
Limitin varlığını süreklilik için yeterli saymak. Limit var olsa da $f(a)$ tanımsızsa fonksiyon o noktada sürekli değildir.
İkinci hata: ara değer teoremini süreksiz fonksiyona uygulamak — teorem yalnızca sürekli fonksiyonlar için geçerlidir.
Sık sorulanlar
Süreklilik için kaç koşul gerekir?
Üç: fonksiyonun o noktada tanımlı olması, limitin var olması ve limitin fonksiyon değerine eşit olması.
Ara değer teoremi ne söyler?
Sürekli bir fonksiyon bir aralığın uçlarında zıt işaret alıyorsa, o aralıkta en az bir kök vardır.