Ortalama ve Anlık Değişim
Ortalama değişim oranı: $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ — kesenin eğimi
Anlık değişim oranı: aralık sıfıra giderken elde edilen limit — teğetin eğimi, yani türev.
Fiziksel karşılıkları: ortalama hız ile anlık hız; ortalama ivme ile anlık ivme.
Hız konumun, ivme hızın değişim oranıdır.
Alan ve Belirli İntegral
Bir eğrinin altındaki alan, dikdörtgenlere bölünerek yaklaşık hesaplanır (Riemann toplamı).
Dikdörtgen sayısı sonsuza giderken bu toplam belirli integrale yakınsar:
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$
Analizin temel teoremi türev ile integrali birbirine bağlar: integral, türevin tersidir.
Birikim Yorumu
Türev değişim hızını, integral birikmiş miktarı verir.
Hız-zaman grafiğinde eğri altındaki alan alınan yolu gösterir.
Bir musluğun akış hızı biliniyorsa, bu hızın integrali biriken su miktarını verir.
Bu ikili bakış — hız ve birikim — analizin temel fikridir.
Sık Yapılan Hata
Ortalama ile anlık değişim oranını karıştırmak. Ortalama değişim keseni, anlık değişim teğeti verir.
İkinci hata: hız-zaman grafiğinde eğri altındaki alanı hız sanmak — alan yolu verir, eğim ise ivmeyi.
Sık sorulanlar
Hız-zaman grafiğinde eğri altındaki alan neyi verir?
Alınan yolu (yer değiştirmeyi). Grafiğin eğimi ise ivmeyi verir.
Türev ile integral arasındaki ilişki nedir?
Analizin temel teoremine göre integral, türev alma işleminin tersidir.