12. Sınıf Değişim Oranı ve İntegrale Giriş — Konu Anlatımı

Ortalama Hız Neyi Saklar?

Bir bisikletli yola çıkıyor; $t$ saniye sonra başlangıçtan uzaklığı $s(t) = t^2$ metre. 3. ile 5. saniyeler arasındaki ortalama hız:

$\dfrac{s(5) - s(3)}{5 - 3} = \dfrac{25 - 9}{2} = 8$ m/s

Bu, genel bir kalıbın örneği. $f$ fonksiyonunun $[a, b]$ aralığındaki ortalama değişim oranı:

$\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Geometrik karşılığı, grafikteki $(a, f(a))$ ve $(b, f(b))$ noktalarından geçen kesen doğrusunun eğimidir. Tablo sorularında da aynı işlem yapılır: $f(1) = 4$ ve $f(5) = 20$ ise ortalama değişim oranı $\frac{20 - 4}{5 - 1} = 4$'tür.

Ama bisikletli 3. saniyede tam olarak 8 m/s ile mi gidiyordu? Hızlanan biri için ortalama, aralığın başındaki hızdan büyük, sonundakinden küçüktür. Ortalama, o anki hızı saklar.

Aralığı Daraltınca

3. saniyedeki hızı yakalamak için aralığı küçültelim:

Değerler 6'ya yaklaşıyor. Genel hâlde, $h$ kadar genişlikteki aralık için:

$\dfrac{(3 + h)^2 - 9}{h} = \dfrac{6h + h^2}{h} = 6 + h \;\xrightarrow{h \to 0}\; 6$

Bu limite anlık değişim oranı ya da türev denir:

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$

Aralık sıfıra giderken kesenin iki noktası birleşir ve kesen teğete dönüşür. $y = x^2$ eğrisine $(3, 9)$ noktasında çizilen teğetin eğimi 6'dır; denklemi $y - 9 = 6(x - 3)$, yani $y = 6x - 9$.

Sık yapılan hata: "3. saniyedeki hız" sorusunda $\frac{s(3)}{3} = \frac{9}{3} = 3$ m/s hesaplamak. Bu, 0 ile 3 arasındaki ortalama hızdır; bir anın hızı değil. Anlık hız yalnız limitle ya da türevle bulunur.

Ters Soru: Hız Biliniyorsa Yol Kaç?

Şimdi tersine gidelim. Bir aracın hızı $v(t) = 2t$ m/s, $t$ 0'dan 4 saniyeye kadar. Bu sürede kaç metre yol alınır?

Hız sabit olsaydı "hız × zaman" yeterdi. Hız değiştiği için zamanı küçük parçalara bölüp her parçada hızı sabit sayarız. 1'er saniyelik 4 parça, her parçanın sağ ucundaki hızla:

$1 \cdot (2 + 4 + 6 + 8) = 20$ m

Aynı parçalar sol ucundaki hızla: $1 \cdot (0 + 2 + 4 + 6) = 12$ m

Gerçek değer 12 ile 20 arasında. Parçaları 0,5 saniyeye indirince sağ uç toplamı $0{,}5 \cdot (1 + 2 + \dots + 8) = 18$, sol uç toplamı $0{,}5 \cdot (0 + 1 + \dots + 7) = 14$ olur. Aralık daralıyor.

Bu dikdörtgen toplamlarına Riemann toplamı denir. Parça sayısı sonsuza giderken ulaşılan sınır değer belirli integraldir:

$\displaystyle\int_0^4 2t\,dt = 16$ m

Hız-zaman grafiği bir üçgen olduğundan sonucu alan formülüyle de doğrulayabiliriz: $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16$.

Türev ile İntegral Aynı Madalyonun İki Yüzü

Türevi $2t$ olan fonksiyonlardan biri $F(t) = t^2$. Şuna bakın:

$F(4) - F(0) = 16 - 0 = 16$

Dikdörtgenlerle uğraşarak bulduğumuz sayı çıktı. Tesadüf değil; analizin temel teoremi tam bunu söyler: $F' = f$ ise $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. Türev bir büyüklüğün değişim hızını verir, integral o hızdan birikmiş miktarı geri kurar.

Günlük karşılıkları: bir musluk dakikada 3 litre akıtıyorsa 10 dakikada biriken su $3 \cdot 10 = 30$ litredir — sabit hızın integrali. Akış hızı değişiyorsa aynı fikir integralle yürür. Fatura sayaçları, adımsayarlar ve araç yol bilgisayarları anlık değerleri toplayarak toplam miktarı böyle hesaplar.

Alan Negatif Olursa

Bir oyuncak araba $v(t) = 4 - 2t$ m/s hızla hareket ediyor, $0 \leq t \leq 4$.

• $[0, 2]$: hız pozitif, araç ileri gidiyor. Grafik altındaki üçgenin alanı $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$ m.
• $[2, 4]$: hız negatif, araç geri dönüyor. Üçgen eksenin altında; integral $-4$ verir.

$\displaystyle\int_0^4 (4 - 2t)\,dt = 4 + (-4) = 0$

Sıfır ne demek? Araç başladığı yere dönmüş: yer değiştirme 0 m. Ama tekerlekler 4 m ileri, 4 m geri, toplam 8 m yol almış. Alınan yol için eksenin altındaki alanlar mutlak değerle eklenir.

Mini soru: aynı grafikte ivme kaçtır? Hız grafiğinin eğimi ivmeyi verir: $-2$ m/s². Alan yolu, eğim ivmeyi verir — ikisini karıştırmamak gerekir.

Sınav ipucu: "Ortalama değişim" kelimesi kesen ve iki noktalı kesir demektir; "anlık", "o andaki", "teğetin eğimi" türev demektir. Hız-zaman grafiği sorularında "yer değiştirme" ile "alınan yol" ayrı sorulur: ilki işaretli alan, ikincisi alanların mutlak değer toplamı.

Sık sorulanlar