7. Sınıf Dikdörtgenler Prizması — Konu Anlatımı

Bir Koli, İki Soru

Taşınmaya hazırlanan bir aile, ölçüleri 50 cm, 40 cm ve 30 cm olan bir koli aldı. Koliyi renkli kâğıtla kaplamak isteyen Ela soruyor: "Kaç santimetrekare kâğıt lazım?" İçine kitap yerleştirecek olan Can soruyor: "Buna kaç litre sığar?"

İki soru aynı koliyle ilgili ama iki ayrı büyüklüğü soruyor. Ela'nınki yüzey alanı, Can'ınki hacim. Bu anlatımın sonunda ikisini de hesaplayacak ve hangisinin sorulduğunu sorunun fiilinden anlayacaksınız.

Prizmayı Tanıyalım: 6 Yüz, 12 Ayrıt, 8 Köşe

Dikdörtgenler prizması, altı yüzünün hepsi dikdörtgen olan bir cisimdir. Kibrit kutusu, koli, akvaryum, tuğla bu cismin günlük hayattaki örnekleridir.

Üç ölçüsü vardır: en ($a$), boy ($b$) ve yükseklik ($c$). Karşılıklı yüzler birbirine eştir; bu yüzden üç farklı yüz vardır, altı değil.

Ayrıtlara bakın: her ölçüden 4'er tane var. Bu yüzden bütün ayrıtların toplamı $4 \cdot (a + b + c)$ olur. Koliyi telden bir iskeletle yapmak isteseydik $4 \cdot (50 + 40 + 30) = 480$ cm tel gerekirdi.

Bütün ayrıtları eşit olan dikdörtgenler prizmasına küp denir. Küp ayrı bir cisim değil, bu ailenin özel bir üyesidir.

Ela'nın Sorusu: Yüzey Alanı

Yüzey alanı, prizmanın bütün yüzlerinin alanları toplamıdır. Prizmayı kesip düzleme serdiğinizde (buna açınım denir) altı dikdörtgen elde edersiniz; yüzey alanı bu açınımın alanıdır.

Karşılıklı yüzler eş olduğu için üç farklı yüzü hesaplayıp 2 ile çarpmak yeter:

$A = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)$

Koli için: $50 \cdot 40 = 2000$, $50 \cdot 30 = 1500$, $40 \cdot 30 = 1200$. Toplam $4700$ ve $A = 2 \cdot 4700 = 9400$ cm². Ela'ya katlama payı hariç en az 9400 cm² kâğıt lazım.

Küpte altı yüz de eş olduğundan formül kısalır: $A = 6a^2$.

Yalnız yan yüzler sorulursa. Taban ve tavan dışındaki dört yüz, açınımda yan yana dizilince tek bir dikdörtgen olur: uzunluğu taban çevresi, genişliği yükseklik. Yani yan yüzlerin alanı $2 \cdot (a + b) \cdot c$ olur. Örnek: taban ayrıtları 8 cm ve 5 cm, yan yüzlerin alanı toplamı 130 cm² ise taban çevresi $2 \cdot (8 + 5) = 26$ cm ve yükseklik $130 : 26 = 5$ cm'dir.

Can'ın Sorusu: Hacim Nereden Geliyor?

Hacim, cismin kapladığı yerdir ve birim küp ile ölçülür. Prizmanın tabanına birim küpleri dizelim: bir kata $a \cdot b$ tane küp sığar. Prizma $c$ katla dolduğuna göre toplam küp sayısı $a \cdot b \cdot c$ olur.

$V = a \cdot b \cdot c$   ya da   $V = \text{taban alanı} \cdot \text{yükseklik}$

Koli için $V = 50 \cdot 40 \cdot 30 = 60\,000$ cm³. İkinci yazılış daha kullanışlıdır: taban alanı verilmişse doğrudan çarparsınız; yükseklik soruluyorsa hacmi taban alanına bölersiniz. Taban alanı 36 cm², hacmi 252 cm³ olan prizmanın yüksekliği $252 : 36 = 7$ cm'dir.

Küpte üç ayrıt da eşit olduğundan $V = a^3$ olur.

Birimler Arası Köprü: Neden 1000?

Uzunlukta birimler 10'ar 10'ar büyür. Hacimde üç boyut birlikte çevrildiği için oran $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ olur:

$1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{dm}^3$  ·  $1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3$  ·  $1\ \text{cm}^3 = 1000\ \text{mm}^3$

Sıvı ölçüleriyle köprü tek satırdır: $1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{L}$ ve $1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{mL}$.

Can'ın cevabı: $60\,000$ cm³ $= 60$ dm³ $= 60$ litre.

Bir adım ileri. 12 m³ hacmindeki bir havuza dakikada 250 litre su akıtan bir musluk açılıyor. Havuz kaç dakikada dolar? Önce birimleri eşitleyin: $12$ m³ $= 12\,000$ litre. Sonra bölün: $12\,000 : 250 = 48$ dakika.

Daha Zor Bir Örnek: Kapaksız Akvaryum

Uzunluğu 60 cm, genişliği 30 cm, yüksekliği 40 cm olan kapaksız bir akvaryum camdan yapılacak. Kaç cm² cam gerekir? İçine, ağzına 5 cm kalana kadar su konursa kaç litre su alır?

Kapak olmadığı için yüzey alanı 6 değil 5 yüzün toplamıdır:

1. Taban: $60 \cdot 30 = 1800$ cm²
2. Ön ve arka: $2 \cdot 60 \cdot 40 = 4800$ cm²
3. İki yan: $2 \cdot 30 \cdot 40 = 2400$ cm²

Toplam $1800 + 4800 + 2400 = 9000$ cm² cam.

Su yüksekliği $40 - 5 = 35$ cm olur. Suyun hacmi $60 \cdot 30 \cdot 35 = 63\,000$ cm³, yani 63 litre. Burada akvaryumun hacmi değil, suyun kapladığı prizmanın hacmi soruluyor; tuzak, yüksekliği 40 almaktır.

İç ölçü mü, dış ölçü mü? Duvarları 1 cm kalınlığında, dış ölçüleri 52 cm, 32 cm ve 42 cm olan kapaklı bir sandığın içine ne sığar? Her ölçüden iki duvar düşülür: iç ölçüler 50 cm, 30 cm ve 40 cm, iç hacim $60\,000$ cm³ $= 60$ dm³. "Kaç dm³ kum alır" sorusu her zaman iç ölçüyle hesaplanır.

Ayrıtlar Büyüyünce: 2 Kat, 4 Kat, 8 Kat

Ayrıtı 3 cm olan bir küpü düşünün: yüzey alanı $6 \cdot 9 = 54$ cm², hacmi $27$ cm³. Şimdi ayrıtı 6 cm yapalım: yüzey alanı $6 \cdot 36 = 216$ cm², hacmi $216$ cm³.

Ayrıt 2 katına çıktı; alan 4 katına, hacim 8 katına çıktı. Çünkü alanda iki uzunluk, hacimde üç uzunluk çarpılıyor: $2 \cdot 2 = 4$ ve $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Yalnız bir ayrıt 2 katına çıkarsa hacim de yalnız 2 katına çıkar. Soruda "bütün ayrıtlar" mı, "yalnız yükseklik" mi dendiğine bakın.

Mini soru: Ayrıtı 2 cm olan küplerle ayrıtı 10 cm olan bir küp kaç küpten oluşur? Bir satır sonra cevap.

Cevap: Her ayrıta $10 : 2 = 5$ küp sığar, toplam $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ küp. Hacimlerle de bulunur: $1000 : 8 = 125$.

Sık Yapılan Hatalar

• Alan ile hacmi karıştırmak. Bir kutunun kaplanması soruluyorsa yüzey alanı (cm²), doldurulması soruluyorsa hacim (cm³) istenir. Sorudaki birim de hangi büyüklüğün sorulduğunu ele verir.
• Birim çevirmede 10 ile çarpmak. Hacimde oran 10 değil 1000'dir; 2,5 m³ 25 dm³ değil, 2500 dm³'tür.
• Yüzey alanında 2 ile çarpmayı unutmak. $a b + a c + b c$ yalnız üç yüzün alanıdır; prizmanın altı yüzü vardır. Kapaksız kutuda ise tersine, 6 yüzün hepsini almak hatadır.
• Ayrıt sayısını 6 sanmak. 6 olan yüz sayısıdır; ayrıt 12, köşe 8'dir.

Sık sorulanlar