Dikdörtgenler Prizması — Konu Anlatımı

Prizmayı Tanımak

Dikdörtgenler prizması, altı yüzünün hepsi dikdörtgen olan bir cisimdir. Kibrit kutusu, koli, akvaryum, tuğla — hepsi bu cismin günlük hayattaki adlarıdır.

Üç ölçüsü vardır: en ($a$), boy ($b$) ve yükseklik ($c$). Karşılıklı yüzler birbirinin eşidir; bu yüzden üç farklı yüz vardır, altı değil.

Bütün ayrıtları eşit olan dikdörtgenler prizmasına küp denir. Küp ayrı bir cisim değil, bu ailenin özel bir üyesidir.

Yüzey Alanı

Yüzey alanı, prizmanın bütün yüzlerinin alanları toplamıdır. Prizmayı kesip düzleme sererseniz (buna açınım denir) altı dikdörtgen elde edersiniz; yüzey alanı işte bu kâğıdın alanıdır.

Karşılıklı yüzler eş olduğu için üç farklı yüzü hesaplayıp 2 ile çarpmak yeter:

$A = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)$

Örnek. Ayrıtları 8 cm, 5 cm ve 3 cm olan prizmada $8 \cdot 5 = 40$, $8 \cdot 3 = 24$, $5 \cdot 3 = 15$ bulunur. Toplam $40 + 24 + 15 = 79$ ve $A = 2 \cdot 79 = 158$ cm²'dir.

Küpte altı yüz de eş olduğundan formül kısalır: $A = 6a^2$.

Hacim — Bağıntı Nereden Geliyor?

Hacim, cismin kapladığı yerdir ve birim küp ile ölçülür. Prizmanın tabanına birim küpleri diziyoruz: bir kata $a \cdot b$ tane küp sığar. Prizma $c$ katla dolduğuna göre toplam küp sayısı $a \cdot b \cdot c$ olur.

$V = a \cdot b \cdot c$   ya da   $V = \text{taban alanı} \cdot \text{yükseklik}$

İkinci yazılış daha kullanışlıdır: soruda ayrıtlar değil taban alanı verilmişse doğrudan çarparsınız. Yükseklik soruluyorsa hacmi taban alanına bölersiniz.

Örnek. Taban alanı 36 cm², hacmi 252 cm³ olan prizmanın yüksekliği $252 : 36 = 7$ cm'dir.

Küpte üç ayrıt da eşit olduğundan $V = a^3$ olur.

Hacim Ölçme Birimleri

Uzunlukta birimler 10'ar 10'ar büyür. Hacimde üç boyut da birlikte çevrildiği için oran 1000 olur:

$1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{dm}^3$  ·  $1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3$  ·  $1\ \text{cm}^3 = 1000\ \text{mm}^3$

Sıvı ölçüleriyle köprü tek satırdır ve çok işe yarar:

$1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{litre}$  ·  $1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{mL}$  ·  $1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{litre}$

Örnek. 40 cm × 20 cm × 25 cm ölçülerindeki bir akvaryumun hacmi 20 000 cm³'tür; bu da 20 litre eder.

Sık Yapılan Hata

En sık hata alan ile hacmi karıştırmaktır. Bir kutunun kaplanması soruluyorsa yüzey alanı (cm²), doldurulması soruluyorsa hacim (cm³) istenmektedir. Birim hangi büyüklüğün sorulduğunu ele verir.

İkinci hata birim çevirmede 10 ile çarpmaktır. Hacimde oran 10 değil 1000'dir; 2,5 m³ 25 dm³ değil, 2500 dm³'tür.

Üçüncü hata yüzey alanında 2 ile çarpmayı unutmaktır: $a b + a c + b c$ yalnız üç yüzün alanıdır, prizmanın altı yüzü vardır.

Sık sorulanlar