Dizi Kavramı
Dizi, tanım kümesi doğal sayılar olan bir fonksiyondur. Yani her doğal sayıya bir gerçek sayı karşılık gelir; bu karşılığa terim denir.
Dizinin $n$. terimini veren kurala genel terim denir ve $a_n$ ile gösterilir. Genel terim bilindiğinde dizinin herhangi bir terimi doğrudan hesaplanabilir: $a_n = 3n+2$ dizisinde $a_4 = 3\cdot 4 + 2 = 14$'tür.
Bir dizi indirgeme bağıntısı ile de tanımlanabilir. Bu durumda bir terim bir öncekinden hesaplanır: $a_1=2$ ve $a_{n+1}=a_n+3$ gibi.
Aritmetik Dizi
Ardışık terimleri arasındaki fark sabit olan diziye aritmetik dizi denir. Bu sabite ortak fark denir ve $d$ ile gösterilir.
- Genel terim: $a_n = a_1 + (n-1)\cdot d$
- İlk n terim toplamı: $S_n = \frac{n\cdot(a_1+a_n)}{2}$
Ortak fark pozitifse dizi artan, negatifse azalandır. Aritmetik dizide ortadaki terim, komşularının aritmetik ortalamasıdır; bu özellik eksik terim bulma sorularında çok işe yarar.
Geometrik Dizi
Ardışık terimlerinin oranı sabit olan diziye geometrik dizi denir. Bu sabite ortak oran denir ve $r$ ile gösterilir.
- Genel terim: $a_n = a_1\cdot r^{\,n-1}$
- İlk n terim toplamı: $S_n = \frac{a_1(r^n-1)}{r-1}$ ($r\neq 1$)
- $|r| < 1$ ise sonsuz toplam: $S = \frac{a_1}{1-r}$
Aritmetik dizide her adımda sabit bir miktar eklenir, geometrik dizide sabit bir sayıyla çarpılır. Bu ayrım, problemin hangi dizi olduğunu anlamanın en hızlı yoludur.
Monotonluk ve Sınırlılık
Her terimi bir öncekinden büyükse dizi artan, küçükse azalandır. İkisinden biriyse diziye monoton denir.
Terimlerin hepsi belirli bir sayıdan küçükse dizi üstten sınırlı, belirli bir sayıdan büyükse alttan sınırlıdır. Örneğin $a_n=\frac1n$ dizisi azalandır, en büyük terimi $a_1=1$ ve terimler hiçbir zaman sıfırın altına inmez.
Monotonluğu belirlemenin pratik yolu $a_{n+1}-a_n$ farkının işaretine bakmaktır: fark hep pozitifse artan, hep negatifse azalandır.
Problem Çözerken
Dizi problemlerinde izlenecek yol genellikle aynıdır:
- Verilenlerden dizinin türünü belirle (fark mı sabit, oran mı sabit?).
- $a_1$ ve $d$ ya da $r$ değerlerini yaz.
- İstenen terim mi, toplam mı? Uygun formülü seç.
Merdiven basamakları, sıralardaki koltuk sayısı ve düzenli ödeme planları aritmetik diziyle; nüfus artışı, faiz ve bakteri çoğalması geometrik diziyle modellenir.
Sık sorulanlar
Bir dizinin aritmetik mi geometrik mi olduğunu nasıl anlarım?
Ardışık terimlerin farkını al: hep aynıysa aritmetiktir. Farklar değişiyorsa oranlara bak: oran hep aynıysa geometriktir.
Sonsuz geometrik toplam her zaman bulunabilir mi?
Hayır. Yalnız ortak oranın mutlak değeri 1'den küçükken toplam sonlu bir sayıya yaklaşır. |r| ≥ 1 ise toplam sınırsız büyür.
Genel terim ile indirgeme bağıntısı arasındaki fark nedir?
Genel terim istediğin terimi doğrudan verir. İndirgeme bağıntısında ise bir terimi bulmak için bir öncekini bilmen gerekir.