12. Sınıf Diziler — 12. Sınıf Konu Anlatımı — Konu Anlatımı

Amfide Kaç Koltuk Var?

Bir okulun açık hava amfisinde ilk sırada 14 koltuk var ve her sıra bir öncekinden 2 koltuk fazla. Amfi 12 sıra. Kaç koltuk olduğunu tek tek toplamadan bulabilir misiniz?

Sıralardaki koltuk sayıları 14, 16, 18, 20, … diye gidiyor. Bu sıralı sayı listesine dizi, her sayıya terim diyoruz. 12. sıradaki koltuk sayısı:

$a_{12} = 14 + 11 \cdot 2 = 36$

Neden 12 değil de 11 kere 2 ekledik? Çünkü 1. sıradan 12. sıraya giderken 11 adım atılır. Toplam koltuk için ilk ve son terimin ortalamasını terim sayısıyla çarparız:

$S_{12} = \frac{12 \cdot (14 + 36)}{2} = 300$ koltuk.

Dizi, Tanım Kümesi Sayma Sayıları Olan Fonksiyondur

Dizi, her pozitif tam sayıya bir gerçek sayı eşleyen fonksiyondur. $n$. terimi veren kurala genel terim denir:

• $a_n = 2n - 1$ ise $a_6 = 11$.
• $a_n = n^2 + 1$ ise $a_4 = 17$.

Sınır durum: $a_n = \frac{1}{n - 3}$ bir dizi midir? $n = 3$ için payda sıfır olur, $a_3$ tanımsız kalır. Her sayma sayısına değer vermeyen kural dizi belirtmez.

Diziyi indirgeme bağıntısıyla da verebiliriz; bu kez her terim bir öncekinden hesaplanır. $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 3$ ise terimler 2, 5, 8, 11 olur ve $a_4 = 11$. $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n$ ise 1, 2, 4, 8, 16 ve $a_5 = 16$.

Aritmetik Dizi: Her Adımda Aynı Ekleme

Ardışık terimler arasındaki fark sabitse dizi aritmetiktir; bu farka ortak fark ($d$) denir. 4, 9, 14, 19 dizisinde $d = 5$.

$a_n = a_1 + (n-1)d \qquad S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

• $a_1 = 6$, $d = -2$ ise $a_8 = 6 + 7 \cdot (-2) = -8$. Ortak fark negatif, dizi azalıyor.
• $a_1 = 1$, $d = 4$ ise genel terim $a_n = 1 + (n-1) \cdot 4 = 4n - 3$.
• $a_1 = 2$, $a_{20} = 59$ ise $S_{20} = \frac{20 \cdot 61}{2} = 610$.
• $1 + 2 + \dots + 15 = \frac{15 \cdot 16}{2} = 120$.

İşe yarayan bir özellik: aritmetik dizide ortadaki terim komşularının ortalamasıdır. $a_1 = 7$, $a_3 = 19$ ise $a_2 = \frac{7 + 19}{2} = 13$. Her basamağı 18 cm olan bir merdivende basamak yükseklikleri de 18, 36, 54, … diye aritmetik artar.

Geometrik Dizi: Her Adımda Aynı Çarpan

Ardışık terimlerin oranı sabitse dizi geometriktir; bu orana ortak oran ($r$) denir. 3, 6, 12, 24 dizisinde $r = 2$.

$a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1} \qquad S_n = a_1 \cdot \frac{r^{n} - 1}{r - 1} \quad (r \neq 1)$

• $a_1 = 5$, $r = 3$ ise $a_4 = 5 \cdot 27 = 135$.
• $a_1 = 2$, $r = 4$ ise $a_n = 2 \cdot 4^{\,n-1}$.
• $1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 1 \cdot \frac{2^{5} - 1}{2 - 1} = 31$.

Bir fidanlıkta 400 fidan var ve sayı her yıl 1,5 katına çıkıyor. 3 yıl sonra $400 \cdot 1{,}5^{3} = 400 \cdot 3{,}375 = 1350$ fidan olur. Aritmetik dizide sabit bir sayı eklenir, geometrik dizide sabit bir sayıyla çarpılır; problemde "her yıl 50 fazla" mı yoksa "her yıl 1,5 katı" mı dendiğine bakın.

Zıplayan Top ve Sonsuz Toplam

16 m yükseklikten bırakılan bir top her yere çarpışında düştüğü yüksekliğin $\frac34$'ü kadar zıplıyor. Top durana kadar toplam kaç metre yol alır?

Zıplama yükseklikleri 12, 9, 6,75, … diye gider: $r = \frac34$ olan geometrik dizi. Top her zıplamada o yüksekliği bir kez çıkar, bir kez iner. $|r| < 1$ olduğunda sonsuz toplam sonlu bir sayıdır:

$S = \frac{a_1}{1 - r}$

Zıplamaların toplamı $\frac{12}{1 - 3/4} = 48$ m. Toplam yol: ilk düşüş 16 m, üstüne her zıplamanın çıkışı ve inişi $2 \cdot 48 = 96$ m. Sonuç $16 + 96 = 112$ m.

Daha basit bir örnek: $a_1 = 8$, $r = \frac12$ ise $8 + 4 + 2 + \dots = \frac{8}{1/2} = 16$.

Artan mı, Azalan mı, Sınırlı mı?

$a_{n+1} - a_n$ farkının işaretine bakılır. $a_n = 5 - n$ dizisinde fark hep $-1$, dizi azalandır. $a_n = \frac{n}{n+1}$ dizisinde

$a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$

olduğundan dizi artandır; terimler $\frac12, \frac23, \frac34, \dots$ diye 1'e yaklaşır ama 1'i geçmez. Dizi hem alttan hem üstten sınırlıdır.

$a_n = \frac1n$ azalandır; en büyük terimi $a_1 = 1$. $a_n = (-1)^{n}$ ise $-1, 1, -1, 1$ diye salınır: sınırlıdır ama monoton değildir.

Nerede Yanılıyoruz?

Sık yapılan hata: Genel terimi $a_n = a_1 + n \cdot d$ yazmak. Amfi örneğinde bu, 12. sıraya $14 + 12 \cdot 2 = 38$ koltuk verir; doğrusu 36'dır.

Terim sayısını yanlış saymak: 7'den 43'e 4'er artan dizide kaç terim var? $\frac{43 - 7}{4} = 9$ adım, 10 terim. Adım sayısı ile terim sayısı karıştırılır.

$r = 1$ durumu: 5, 5, 5, … geometrik dizisinde toplam formülü sıfıra böler. Burada $S_n = n \cdot a_1$ doğrudan yazılır.

$|r| \geq 1$ iken sonsuz toplam yazmak: $1 + 2 + 4 + \dots$ için $\frac{1}{1 - 2} = -1$ bulmak saçmadır; pozitif sayıların toplamı sınırsız büyür.

AYT ipucu: "Ardışık üç terim" gördüğünüzde iki kuralı hatırlayın. Aritmetikse ortadaki terim ortalamadır: $x, 12, 18 \Rightarrow x = 6$. Geometrikse ortadakinin karesi uçların çarpımıdır: $x, 12, 18 \Rightarrow 144 = 18x$, $x = 8$.

Sık sorulanlar