8. Sınıf Dönüşüm Geometrisi — Konu Anlatımı

Oyun Karakterine Komut Vermek

Kareli bir oyun ekranında kedi karakteri $K(-4,\ 2)$ noktasında duruyor. Oyuncu "5 birim sağa, 3 birim aşağı" komutunu veriyor. Kedi nereye gider?

Sağa gitmek $x$'i artırır, aşağı gitmek $y$'yi azaltır: $K'(-4 + 5,\ 2 - 3) = K'(1,\ -1)$.

Bu hareketin adı öteleme. Genel kural: sağa $a$, yukarı $b$ birim ötelenen $(x,\ y)$ noktası $(x + a,\ y + b)$ olur; sola ve aşağı hareket eksi işaretle yazılır.

İkinci komut: "2 birim sola, 6 birim yukarı". Kedi $(1 - 2,\ -1 + 6) = (-1,\ 5)$ noktasına gelir. Mini soru: tek bir komutla ilk noktadan buraya gelinebilir miydi? Cevap: Evet. İki ötelemenin toplamı $5 - 2 = 3$ birim sağa, $-3 + 6 = 3$ birim yukarı; $(-4 + 3,\ 2 + 3) = (-1,\ 5)$. Art arda ötelemeler tek bir ötelemeye toplanır.

Ötelemede şeklin boyu, biçimi ve yönü korunur; kedi ne dönmüş ne ters çevrilmiştir. Alanı 4 birimkare olan bir motif ötelemeyle 6 kez yan yana konarak bordür yapılırsa bordürün alanı $6 \cdot 4 = 24$ birimkaredir; kaydırmak alanı değiştirmez.

Katlanan Kâğıttaki Mürekkep: Yansıma

Bir kâğıdın bir yarısına mürekkep damlatıp kâğıdı katlayın. Açınca öbür yarıda ters dönmüş bir kopya görürsünüz. Katlama çizgisi simetri doğrusu, kopya da yansıma görüntüsüdür. Her nokta ile görüntüsü simetri doğrusuna eşit uzaklıktadır ve onları birleştiren doğru parçası bu doğruya diktir.

Koordinat düzleminde kurallar:

• $x$ eksenine göre: $(x,\ y) \rightarrow (x,\ -y)$
• $y$ eksenine göre: $(x,\ y) \rightarrow (-x,\ y)$

Örnek: $C(-5,\ 2)$ noktasının $y$ eksenine göre görüntüsü $(5,\ 2)$; $K(-3,\ 4)$ noktasının $x$ eksenine göre görüntüsü $(-3,\ -4)$ olur ve 2. bölgeden 3. bölgeye geçer.

Sık yapılan hata: $x$ eksenine göre yansımada $x$'in işaretini değiştirmek. Kâğıdı $x$ ekseni boyunca katladığınızı düşünün: nokta yukarıdan aşağıya geçer, sağa-sola hiç kaymaz. Değişen yükseklik, yani $y$'dir. Eksenin adı, değişmeyen koordinatın adıdır.

Yansımada boy ve biçim korunur ama yön ters döner: sağ el görüntüde sol ele benzer. "Yansımada değişen özellik hangisi?" sorusunun cevabı budur.

Orijin Etrafında Döndürme

Aksi söylenmedikçe dönme yönü saat yönünün tersidir. Orijin etrafında:

• $90^\circ$: $(x,\ y) \rightarrow (-y,\ x)$
• $180^\circ$: $(x,\ y) \rightarrow (-x,\ -y)$

90° kuralını ezberlemek yerine eksen üzerindeki bir noktayla sınayın: $(1,\ 0)$ noktası saat yönünün tersine çeyrek tur dönünce $(0,\ 1)$'e gelir. Kurala göre $(1,\ 0) \rightarrow (-0,\ 1) = (0,\ 1)$; tutuyor.

Örnek: $A(3,\ 2)$ noktası $90^\circ$ döndürülünce $(-2,\ 3)$ olur, 1. bölgeden 2. bölgeye geçer. Köşeleri $(1,\ 1)$, $(3,\ 1)$, $(3,\ 3)$, $(1,\ 3)$ olan kare aynı dönmeyle $(-1,\ 1)$, $(-1,\ 3)$, $(-3,\ 3)$, $(-3,\ 1)$ köşelerine gider; kare bütünüyle 2. bölgeye taşınır.

$D(3,\ 5)$ noktası $180^\circ$ döndürülünce $(-3,\ -5)$ olur. $A(0,\ 3)$ noktasının $A'(0,\ -3)$'e gitmesi de $180^\circ$'lik bir dönmedir.

Art Arda Dönüşümlerde Sıra

Bir üçgeni önce $y$ eksenine, sonra $x$ eksenine göre yansıtalım: $(x,\ y) \rightarrow (-x,\ y) \rightarrow (-x,\ -y)$. Sonuç, orijin etrafında $180^\circ$ döndürmenin kuralıyla aynı. İki eksene göre art arda yansıma tek bir dönmeye denktir.

Peki sıra her zaman önemsiz mi? $P(2,\ 1)$ noktasıyla deneyelim:

• Önce $x$ eksenine göre yansıma, sonra 4 birim yukarı: $(2,\ -1) \rightarrow (2,\ 3)$
• Önce 4 birim yukarı, sonra $x$ eksenine göre yansıma: $(2,\ 5) \rightarrow (2,\ -5)$

Sonuçlar farklı. Öteleme ile yansıma karıştığında sıra değişirse görüntü değişebilir. Soruda "önce", "ardından", "sonra" sözcüklerinin altını çizin ve işlemi tam o sırayla yapın.

Daha zor örnek, geriye doğru: Bir nokta önce 3 birim sağa ötelenip sonra $y$ eksenine göre yansıtılınca $(-1,\ 4)$ oluyor. İlk nokta neydi? Geriye giderken hem işlemler hem sıra tersine çevrilir. Son yapılan yansımayı geri alın: $(1,\ 4)$. Sonra ötelemeyi geri alın, 3 birim sola: $(-2,\ 4)$. Sağlama: $(-2,\ 4) \rightarrow (1,\ 4) \rightarrow (-1,\ 4)$. Tutuyor.

Dönüşümden Sonra Ne Değişmez?

Öteleme, yansıma ve döndürmenin üçünde de kenar uzunlukları, açılar, çevre ve alan korunur; görüntü şekille eştir. Değişen yalnız konum ve (yansımada) yöndür.

Düzgün çokgenlerde dönme ve yansıma simetrisi bir aradadır. Düzgün sekizgenin 8 simetri doğrusu vardır ve merkezi etrafında $360^\circ \div 8 = 45^\circ$ döndürüldüğünde kendisiyle çakışır. Düzgün altıgende bu açı $60^\circ$, karede $90^\circ$'dir.

Sınav ipucu: Yeni nesil sorularda bir robotun ya da oyun karakterinin komut listesi verilir ve son konum sorulur. Her komuttan sonra noktayı ayrı ayrı yazın; akılda tutmaya çalışmak işaret hatasına yol açar. Şıklarda $(2,\ -5)$ ve $(2,\ 3)$ gibi iki yakın cevap varsa soru büyük ihtimalle sıra tuzağı kuruyordur.

Sık sorulanlar