Oyun Karakteri Ekranda Nasıl Yürür?
İki boyutlu bir oyunda karakteriniz ekranın $A(2, 5)$ noktasında duruyor. Sağ ok tuşuna bastığınızda 3 birim sağa, zıpladığınızda 2 birim yukarı gidiyor; ayna odasına girince görüntüsü ters dönüyor, çarkın üstüne çıkınca da merkez etrafında dönüyor.
Oyunu yazan programcı bunların hiçbirini "çiz" diye düşünmez; her hareketi koordinatlara uygulanan bir kural olarak yazar. Bu kurallara dönüşüm diyoruz. Konunun tamamı dört kuralın koordinatlara ne yaptığını bilmekten ibarettir: öteleme, simetri, dönme ve bunların art arda uygulanması.
Öteleme: Her Noktaya Aynı Vektör
Karakter 3 birim sağa ve 2 birim yukarı giderse $A(2, 5)$ noktası $(5, 7)$ olur. Kural:
$(x, y) \rightarrow (x + a,\; y + b)$
$(x + 3, y - 2)$ ötelemesi altında $A(1, 4)$ noktasının görüntüsü $(4, 2)$'dir. Ters soru da sorulur: $A(3, 1)$ noktası $A'(7, -2)$ olmuşsa öteleme vektörü görüntüden asıl nokta çıkarılarak bulunur, $(7 - 3,\; -2 - 1) = (4, -3)$.
Haritada doğu apsisi, kuzey ordinatı artırıyorsa "doğuya 5, kuzeye 3 birim" hareketi $(-2, 1)$ konumunu $(3, 4)$'e taşır. Öteleme şeklin boyunu, açısını, yönünü değiştirmez; yalnız yerini değiştirir.
Simetri: Hangi Koordinat Susuyor?
| Neye göre | Kural | $A(2, 3)$ olur |
| $x$ ekseni | $(x, y) \rightarrow (x, -y)$ | $(2, -3)$ |
| $y$ ekseni | $(x, y) \rightarrow (-x, y)$ | $(-2, 3)$ |
| Orijin | $(x, y) \rightarrow (-x, -y)$ | $(-2, -3)$ |
| $y = x$ | $(x, y) \rightarrow (y, x)$ | $(3, 2)$ |
| $y = -x$ | $(x, y) \rightarrow (-y, -x)$ | $(-3, -2)$ |
$x$ eksenine göre simetride $x$ koordinatı "susar", değişmez; işaret değiştiren öbürüdür. $y = x$ doğrusunda ise işaret değil yer değişir: $A(-1, 2)$ noktasının simetriği $(2, -1)$.
Sınır durum: Simetri ekseninin üstündeki nokta yerinde kalır. Orijin simetrisinde yerinden kıpırdamayan tek nokta $(0, 0)$'dır.
Eksen olmayan bir doğruya göre simetri de aynı düşünceyle kurulur. $x = 2$ doğrusuna göre simetride nokta doğruya ne kadar uzaksa öbür tarafa o kadar geçer: $(x, y) \rightarrow (4 - x, y)$. $A(5, 1)$ noktası $(-1, 1)$ olur; ikisinin de $x = 2$ doğrusuna uzaklığı 3 birim.
Dönme: Saat Yönünün Tersi Pozitif
Çarkın merkezi orijinde, karakter $A(2, 5)$'te. Pozitif yönde (saat yönünün tersine) dönme:
- $90^\circ$: $(x, y) \rightarrow (-y, x)$, yani $(-5, 2)$
- $180^\circ$: $(x, y) \rightarrow (-x, -y)$, yani $(-2, -5)$; orijin simetrisiyle aynı
- $270^\circ$: $(x, y) \rightarrow (y, -x)$, yani $(5, -2)$; negatif yönde $90^\circ$ ile aynı
Kontrol yolu: $A(2, 5)$ I. bölgede. $90^\circ$ pozitif dönme onu II. bölgeye götürmeli; $(-5, 2)$ gerçekten II. bölgede. $B(0, 4)$ ise $y$ ekseninden $x$ ekseninin negatif yarısına geçer ve $(-4, 0)$ olur.
Özel olmayan açılarda genel kural: $(x, y) \rightarrow (x\cos\theta - y\sin\theta,\; x\sin\theta + y\cos\theta)$. $A(3, 4)$ noktasını $60^\circ$ döndürünce $\left(\frac{3 - 4\sqrt3}{2},\; \frac{3\sqrt3 + 4}{2}\right)$ elde edilir. Karmaşık görünüyor ama orijine uzaklık yine 5'tir, çünkü dönme uzunlukları korur.
Merkez orijin değilse üç adım yeter: merkezi orijine taşı, döndür, geri taşı. $P(5, 3)$ noktasını $M(2, 1)$ etrafında $90^\circ$ döndürelim. $P - M = (3, 2)$; döndürünce $(-2, 3)$; $M$'yi geri ekleyince $(0, 4)$. Sağlama: $MP$ ve $M$ ile $(0, 4)$ arası uzaklık ikisi de $\sqrt{13}$.
Grafiği Taşımak: y = f(x) Nasıl Kayar?
- $f(x) + k$: $k$ birim yukarı; $f(x) - k$: $k$ birim aşağı
- $f(x - a)$: $a$ birim sağa; $f(x + a)$: $a$ birim sola
- $-f(x)$: $x$ eksenine göre simetri; $f(-x)$: $y$ eksenine göre simetri
- $2f(x)$: dikeyde 2 kat germe; $x$ eksenini kestiği noktalar yerinde kalır
$y = x^2$ parabolünden $y = (x - 2)^2 + 3$'e gidelim: tepe noktası $(0, 0)$'dan $(2, 3)$'e kayar.
Tek bir nokta üzerinden düşünmek en güvenli yoldur. $f$ grafiği $(1, 4)$ noktasından geçiyorsa:
- $y = f(x - 2) + 3$ grafiği $(3, 7)$'den geçer
- $y = -f(x)$ grafiği $(1, -4)$'ten geçer
- $y = f(-x)$ grafiği $(-1, 4)$'ten geçer
- $y = 2f(x)$ grafiği $(1, 8)$'den geçer
Sıra Değişince Sonuç Değişir mi?
$A(1, 5)$ noktasına önce $y$ eksenine göre simetri, sonra 2 birim sağa öteleme uygulayalım: $(1, 5) \rightarrow (-1, 5) \rightarrow (1, 5)$. Nokta başladığı yere döndü.
Sırayı değiştirelim: önce sağa öteleme $(3, 5)$, sonra $y$ ekseni simetrisi $(-3, 5)$. Sonuç bambaşka. Bileşke dönüşümde sıra soruda nasıl verildiyse öyle uygulanır.
İlginç bir istisna: $x$ eksenine göre simetri ile yatay öteleme sırayla da tersiyle de aynı sonucu verir. $A(1, 5)$ için iki yol da $(3, -5)$'e çıkar. Neden? Biri yalnız $y$'ye, öteki yalnız $x$'e dokunuyor; birbirinin işine karışmıyorlar. Aynı koordinatla uğraşan iki dönüşümde ise sıra fark yaratır.
Yanılgılar ve AYT İpucu
Sık yapılan hata: $f(x - 2)$ grafiğini sola kaydırmak. Aynı $y$ değerini elde etmek için $x$'in 2 fazla olması gerekir; grafik sağa kayar. Parantezin içindeki işlem beklenenin tersi yönde etki eder, dışındaki işlem beklendiği yönde.
Dönme kurallarını karıştırmak: $90^\circ$ için $(-y, x)$ ile $(y, -x)$ sıkça karıştırılır. Bölge kontrolü (I. bölgeden II. bölgeye) yanlışı hemen gösterir.
$y = x$ simetrisinde işaret değiştirmek: $(2, 3)$ noktasının simetriği $(3, 2)$'dir, $(-3, -2)$ değil; o, $y = -x$ doğrusunun kuralıdır.
AYT ipucu: Soru "görüntüsü" yerine "hangi noktanın görüntüsüdür" diyorsa dönüşümü tersinden işletin. $(x + 3, y - 2)$ ötelemesinde görüntü $(4, 2)$ ise asıl nokta $(4 - 3,\; 2 + 2) = (1, 4)$'tür. Mini soru: $(x, y) \rightarrow (-y, x)$ dönüşümü altında görüntüsü $(-5, 2)$ olan nokta hangisi? (Cevap: $(2, 5)$.)
Sık sorulanlar
f(x − 2) grafiği neden sağa kayıyor?
Eski grafikte x = 0 noktasında olan değer, yeni grafikte x − 2 = 0 yani x = 2 olduğunda ortaya çıkar. Her nokta 2 birim sağa taşınmış olur.
180 derecelik dönme ile orijine göre simetri aynı mı?
Evet. İkisi de (x, y) noktasını (−x, −y) noktasına götürür. A(2, 5) iki yolla da (−2, −5) olur.
Dönme ve simetri uzunlukları değiştirir mi?
Hayır, ikisi de uzunluk ve açıyı korur. A(3, 4) noktası 60° döndürüldüğünde orijine uzaklığı yine 5 birimdir. Uzunluğu değiştiren dönüşüm germedir, örneğin y = 2f(x).