Dönüşümler — 12. Sınıf Konu Anlatımı

Öteleme

Öteleme, bir şekli biçimini ve boyutunu değiştirmeden belirli bir yönde kaydırmaktır. Analitik düzlemde bir vektörle verilir:

$(x,\,y) \rightarrow (x+a,\ y+b)$

Burada $a$ yatay, $b$ düşey kaymayı gösterir. Örneğin $(x+3,\ y-2)$ ötelemesi altında $A(1,4)$ noktası $(4,2)$ olur.

Öteleme vektörünü bulmak için görüntüden orijinal nokta çıkarılır: $A(3,1)$ noktası $A'(7,-2)$ oluyorsa vektör $(4,-3)$'tür.

Simetri

Simetri dönüşümlerinin kuralları kısa ve akılda kalıcıdır:

• x eksenine göre: $(x,y)\rightarrow(x,-y)$
• y eksenine göre: $(x,y)\rightarrow(-x,y)$
• Orijine göre: $(x,y)\rightarrow(-x,-y)$
• $y=x$ doğrusuna göre: $(x,y)\rightarrow(y,x)$

Hangi eksene göre simetri alınıyorsa öbür koordinatın işareti değişir. $y=x$ doğrusunda ise işaret değil, koordinatların yeri değişir.

Dönme

Orijin etrafında pozitif yönde (saat yönünün tersine) dönme kuralları:

• $90^\circ$: $(x,y)\rightarrow(-y,x)$
• $180^\circ$: $(x,y)\rightarrow(-x,-y)$
• $270^\circ$: $(x,y)\rightarrow(y,-x)$

$180^\circ$ dönme ile orijin simetrisi aynı sonucu verir. Dönme bir izometridir: uzunlukları ve açıları korur. Bu yüzden döndürülen bir noktanın orijine uzaklığı hiç değişmez.

Fonksiyon Grafiklerinde Dönüşümler

$y=f(x)$ grafiği üzerinde yapılan değişiklikler grafiği şu biçimde hareket ettirir:

• $f(x)+k$ → yukarı $k$ birim
• $f(x)-k$ → aşağı $k$ birim
• $f(x-a)$ → sağa $a$ birim
• $f(x+a)$ → sola $a$ birim
• $-f(x)$ → x eksenine göre simetri
• $f(-x)$ → y eksenine göre simetri
• $k\cdot f(x)$, $k > 1$ → dikeyde germe

Değişkenin içinde yapılan işlem yatay, dışında yapılan işlem düşey etki yapar. Yatay ötelemenin yönünün ters görünmesi bu konudaki en sık hatadır.

Bileşke Dönüşümler

Birden çok dönüşüm arka arkaya uygulanabilir; buna bileşke dönüşüm denir. Sıra önemlidir: önce simetri sonra öteleme uygulamakla tersini yapmak genellikle farklı sonuç verir.

Örneğin $A(1,5)$ noktasına önce x ekseni simetrisi uygulanırsa $(1,-5)$, ardından 2 birim sağa öteleme uygulanırsa $(3,-5)$ elde edilir.

Dönüşümler bilgisayar grafiklerinin, animasyonun ve harita projeksiyonlarının temelidir; ekranda hareket eden her nesne aslında bir dönüşüm dizisiyle konumlandırılır.

Sık sorulanlar