7. Sınıf Eşitlik ve Denklem Problemleri — Konu Anlatımı

Bilinmeyeni Kim Seçer?

"Ali'nin yaşı Berk'in yaşının 3 katıdır. İkisinin yaşları toplamı 48 ise Berk kaç yaşındadır?"

Çoğu öğrenci Ali'ye $x$ der, çünkü cümlede önce o geçiyor. Sonra Berk $\frac{x}{3}$ olur ve işlem kesirli ilerler.

Oysa küçük olana $x$ deseniz her şey sadeleşir:

• Berk: $x$
• Ali: $3x$
• Toplam: $x + 3x = 48$ → $4x = 48$ → $x = 12$

Berk 12, Ali 36 yaşında. Kontrol: $12 + 36 = 48$ ✔

Kural: Bilinmeyeni, diğerlerinin kendisinden çarpılarak türetildiği büyüklük seçin. Bu, kesirle uğraşmaktan kurtarır.

Sözel İfadeyi Denkleme Çevirmek

Problem kurmanın tamamı şu çeviriyi doğru yapmaktan ibaret:

• "3 fazlası" → $x + 3$
• "3 eksiği" → $x - 3$
• "3 katı" → $3x$
• "3 katının 5 fazlası" → $3x + 5$
• "3 fazlasının 5 katı" → $5(x + 3)$
• "yarısı" → $\frac{x}{2}$

Son iki satır arasındaki farka dikkat edin: hangi işlemin önce yapıldığını "nin/nın" eki belirler. "Katının fazlası" ile "fazlasının katı" aynı şey değildir.

Küçük bir soru: "Bir sayının 4 fazlasının 2 katı 18'dir" denklemini kurun.

Cevap: $2(x + 4) = 18$ → $x + 4 = 9$ → $x = 5$.

Klasik Problem Tipleri

Yaş problemi: Yıllar geçtikçe herkesin yaşı aynı miktarda artar.

"Bugün annesi 36, kızı 8 yaşında. Kaç yıl sonra annesinin yaşı kızının 3 katı olur?"

$36 + x = 3(8 + x)$ → $36 + x = 24 + 3x$ → $12 = 2x$ → $x = 6$ yıl.

Para problemi: Birinden diğerine geçen miktar, birinden düşülüp ötekine eklenir.

"Ayşe'nin parası Can'ınkinin 2 katı. Ayşe, Can'a 30 TL verirse paraları eşit olur. Ayşe'nin parası kaç TL?"

Can $x$, Ayşe $2x$: $2x - 30 = x + 30$ → $x = 60$. Ayşe'nin parası 120 TL.

Ardışık sayı: Ardışık sayılar $x$, $x+1$, $x+2$ diye yazılır.

"Ardışık üç sayının toplamı 51 ise ortanca sayı kaçtır?"

$x + (x+1) + (x+2) = 51$ → $3x + 3 = 51$ → $x = 16$; ortanca 17.

Daha Zor Bir Örnek: İki Koşullu Problem

"Bir sınıfta kızların sayısı erkeklerin 2 katıdır. Sınıfa 4 kız daha katılırsa kız sayısı erkeklerin 3 katı olur. Sınıfta kaç erkek vardır?"

İki koşul var; ikisini de aynı bilinmeyenle yazın.

1. Erkek: $x$, kız: $2x$
2. 4 kız katılınca: $2x + 4$
3. Yeni durum: $2x + 4 = 3x$
4. $x = 4$

Sınıfta 4 erkek, 8 kız var. Kontrol: 4 kız katılınca 12 kız olur ve $12 = 3 \cdot 4$ ✔

Burada kritik olan, ikinci koşulda erkek sayısının değişmediğini fark etmek. Soruda yalnız kız eklendiği için $x$ aynı kalır.

Sınır durum — çözümün anlamlı olması. Denklem $x = 4,5$ verirse ve soru "kaç öğrenci" diyorsa bir şey yanlıştır; kişi sayısı kesirli olamaz. Benzer şekilde negatif yaş, negatif uzunluk kabul edilmez. Matematiksel çözüm doğru olabilir ama probleme uymayabilir — bu yüzden son kontrol denklemde değil, problemin cümlesinde yapılır.

Sık yapılan hata 1: Bilinmeyeni büyük büyüklük seçip gereksiz kesirle uğraşmak.

Sık yapılan hata 2: "Katının fazlası" ile "fazlasının katı" ifadelerini aynı yazmak.

Sık yapılan hata 3: Yaş probleminde yalnız bir kişinin yaşını artırmak.

Sınav ipucu: Bulduğunuz değeri denkleme değil, problemin cümlesine koyun. Denklemi doğru çözüp yanlış kurmak, bu konuda kaybedilen puanların başlıca sebebidir ve yalnız bu kontrol onu yakalar.

Özet: Bilinmeyeni küçük büyüklük seçin. Sözel ifadeyi dikkatle çevirin. Yaş probleminde herkes aynı kadar yaşlanır. Çözümü probleme geri koyun.

Şimdi kendiniz deneyin.

1. Ardışık iki sayının toplamı 37 ise küçük sayı kaçtır?
2. Bir sayının 5 fazlasının 3 katı 42 ise sayı kaçtır?
3. Baba 40, oğul 10 yaşında. Kaç yıl sonra babanın yaşı oğlunun 2 katı olur?

Cevaplar: (1) $x + (x+1) = 37$ → 18  ·  (2) $3(x+5) = 42$ → 9  ·  (3) $40+x = 2(10+x)$ → 20 yıl.

Sık sorulanlar