8. Sınıf Eşitsizlikler — Konu Anlatımı

Eşitsizlik Nedir?

İki ifadeden birinin diğerinden büyük ya da küçük olduğunu anlatan matematik cümlelerine eşitsizlik denir: $x > 3$, $2x + 1 \le 7$. Bilinmeyenin üssü 1 ise buna birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir.

Denklem ile arasındaki temel fark çözümdedir. $x + 2 = 5$ denkleminin tek çözümü vardır: 3. Oysa $x + 2 > 5$ eşitsizliğini 3'ten büyük bütün sayılar sağlar; 3,1 de 4 de 1000 de çözümdür. Eşitsizliğin çözümü genellikle bir aralıktır.

Semboller ve Okunuşları

Sembolün açık ağzı her zaman büyük olan tarafa bakar. $5 > x$ ile $x < 5$ aynı anlama gelir; iki taraf yer değiştirince sembol de döner.

Çözümün Kuralları

Eşitsizlik, denklem çözer gibi çözülür; tek bir farkla:

• İki tarafa aynı sayı eklemek ya da iki taraftan aynı sayıyı çıkarmak yönü değiştirmez.
• İki tarafı pozitif bir sayıyla çarpmak ya da bölmek yönü değiştirmez.
• İki tarafı negatif bir sayıyla çarpmak ya da bölmek yönü ters çevirir.

Son kuralın nedeni basittir: $3 > 2$ doğrudur. İki tarafı $-1$ ile çarparsak $-3$ ve $-2$ elde ederiz; sayı doğrusunda $-3$, $-2$'nin solundadır. Yani doğru ifade $-3 < -2$ olur, yön dönmek zorundadır.

Çözümlü Örnek 1: Yön Değişmeden

$5x - 7 \ge 2x + 8$ eşitsizliğini çözelim.

1. İki taraftan $2x$ çıkar: $3x - 7 \ge 8$
2. İki tarafa 7 ekle: $3x \ge 15$
3. İki tarafı pozitif 3'e böl: $x \ge 5$

Kontrol: $x = 5$ için $18 \ge 18$ doğru; $x = 4$ için $13 \ge 16$ yanlış. Sınır değer olan 5 çözüme dahil, 5'in altı değil.

Çözümlü Örnek 2: Yön Değiştiren Durum

$4 - 3x > 13$ eşitsizliğini çözelim.

1. İki taraftan 4 çıkar: $-3x > 9$
2. İki tarafı $-3$'e böl ve yönü çevir: $x < -3$

Kontrol: $x = -4$ için $4 + 12 = 16 > 13$ doğru. $x = -3$ için $13 > 13$ yanlış; demek ki $-3$ çözüme dahil değildir.

Pratik yol: negatife bölmekten kaçınmak istersen bilinmeyenli terimi katsayısı pozitif kalacak tarafa topla. $4 - 3x > 13$ yerine $4 - 13 > 3x$, yani $-9 > 3x$ yazarsan $-3 > x$ bulursun; bu da $x < -3$ ile aynıdır.

Çözümlü Örnek 3: Parantez ve Tam Sayı Sorusu

$2(x + 3) - 5 \le 4x + 7$ eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı kaçtır?

1. Parantezi aç: $2x + 6 - 5 \le 4x + 7$, yani $2x + 1 \le 4x + 7$
2. $2x$'i sağa, 7'yi sola topla: $1 - 7 \le 2x$, yani $-6 \le 2x$
3. İki tarafı 2'ye böl: $-3 \le x$

Uç değer dahil olduğu için en küçük tam sayı $-3$'tür. Kontrol: $x = -3$ için sol taraf $-5$, sağ taraf $-5$; $-5 \le -5$ doğru.

Sayı Doğrusunda Gösterim

Çözümü sayı doğrusunda göstermek için önce sınır değerin üzerine yuvarlak konur, sonra çözümün bulunduğu yöne kalın çizgi ya da ok çizilir.

Tersini de yapabilmelisin: sayı doğrusunda 1'de dolu yuvarlak ve sağa giden ok görüyorsan eşitsizlik $x \ge 1$'dir.

Günlük Hayattan Eşitsizlik Kurma

Sözel ifadelerin karşılıkları: "en az" $\ge$, "en fazla" ve "geçmemeli" $\le$, "-den fazla" $>$, "-den az" $<$.

Örnek: Bir yük asansörü en fazla 480 kg taşıyabiliyor. 75 kg'lık görevli asansördeyken 25 kg'lık kolilerden en fazla kaç tane yüklenebilir? Koli sayısı $k$ olsun: $75 + 25k \le 480$, buradan $25k \le 405$ ve $k \le 16{,}2$ bulunur. Koli sayısı tam sayı olacağından cevap 16'dır. Kontrol: 16 koliyle 475 kg, 17 koliyle 500 kg olur.

Sık Yapılan Hatalar

• Negatifle bölerken yönü çevirmemek. Bu konudaki hataların büyük kısmı budur. Negatif bir sayı eklemek ise yönü değiştirmez.
• Dolu ve boş yuvarlağı karıştırmak. Eşittir çizgisi ($\le$, $\ge$) varsa yuvarlak doludur.
• Uç değeri kontrol etmemek. $x > -3$ ise en küçük tam sayı $-3$ değil, $-2$'dir.
• "En az" ile "en fazla"yı karıştırmak. "En az 60 puan" $p \ge 60$ demektir.

LGS'de Bu Konu Nasıl Sorulur?

LGS'de eşitsizlikler çoğu zaman tek başına değil, bir bağlam içinde gelir. Sık görülen kalıplar:

• Sayı doğrusunda gösterilen aralığa uygun eşitsizliği seçme.
• Bütçe, kapasite, süre sınırı gibi durumlardan eşitsizlik kurma.
• Çözüm kümesindeki tam sayıları sayma ya da en büyük/en küçük tam sayıyı bulma.

Kendi örneğimiz: $-3 \le x < 4$ aralığında kaç tam sayı vardır? $-3$ dahil, 4 dahil değil: $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$; yani 7 tam sayı.

İpucu: tam sayı sorularında sınırı yazıp "dahil mi?" diye tek tek sor. Seçenekler çoğu zaman tam bu farkla birbirinden ayrılır.

Özet

• Eşitsizlik denklem gibi çözülür, çözüm bir aralıktır.
• Negatif sayıyla çarpma ya da bölmede yön döner; toplama ve çıkarmada dönmez.
• $<$ ve $>$ için boş, $\le$ ve $\ge$ için dolu yuvarlak kullanılır.
• "En az" $\ge$, "en fazla" $\le$ demektir.
• Tam sayı sorularında uç değerin dahil olup olmadığını mutlaka kontrol et.

Sık sorulanlar