8. Sınıf Eşlik ve Benzerlik — Konu Anlatımı

Rafın Üstündeki Maket Araba

Koleksiyon maketlerinin kutusunda "1:18" yazar. Bu, maketteki her 1 cm'nin gerçek arabada 18 cm'ye karşılık geldiği anlamına gelir. Gerçek araba 4,5 m, yani 450 cm uzunluğundaysa maket $450 \div 18 = 25$ cm'dir. Yüksekliği 144 cm olan arabanın maketi $144 \div 18 = 8$ cm olur.

Maket, arabanın biçimini korur ama ölçülerini küçültür. İki şeklin biçimi aynı, ölçüleri orantılıysa bu şekillere benzer denir. Karşılıklı kenarların sabit oranına benzerlik oranı ($k$) denir; burada $k = \dfrac{1}{18}$.

Benzer şekillerde karşılıklı açılar eşittir. Maketin ön camı gerçek arabadakiyle aynı eğimde durur; küçülen yalnız uzunluklardır.

Harita ölçeği de aynı fikirdir. 1 : 250 000 ölçekli haritada 6 cm ölçülen iki şehir arası gerçekte $6 \cdot 250\,000 = 1\,500\,000$ cm $= 15$ km'dir.

Oran 1 Olursa: Eşlik

Anahtarcıda kopyalanan anahtar, asıl anahtarla hem biçim hem ölçü bakımından aynıdır; üst üste konunca tam örtüşür. Böyle şekillere eş denir. Eşlik, benzerlik oranının $k = 1$ olduğu özel durumdur. Bu yüzden her eş şekil benzerdir, ama her benzer şekil eş değildir.

Eş üçgenlerde harflerin yazılış sırası hangi köşenin hangisiyle eşleştiğini söyler. ABC ile DEF eşse A↔D, B↔E, C↔F eşleşir; dolayısıyla $|AB| = |DE|$, $|BC| = |EF|$.

Örnek: $|AB| = 3x - 1$, $|DE| = 11$ cm ve $|BC| = 2x + 1$ ise $|EF|$ kaçtır?

$3x - 1 = 11 \;\Rightarrow\; 3x = 12 \;\Rightarrow\; x = 4$. Buradan $|EF| = |BC| = 2 \cdot 4 + 1 = 9$ cm.

Burada soru $x$'i değil $|EF|$'yi istiyor; 4'ü işaretleyip geçmek bu tür soruların en bilinen tuzağıdır.

Kenar 18 Kat Küçülünce Alan Kaç Kat Küçülür?

Maketi boyayacağız. Gerçek arabanın bir kapısının alanı 1,62 m² ise maketteki kapıya ne kadar alan düşer? Tahmininiz nedir: 18'de biri mi?

Değil. Alan iki uzunluğun çarpımıdır; en de boy da 18'de birine iner. Alan $18 \cdot 18 = 324$'te birine iner. $1{,}62$ m² $= 16\,200$ cm² ve $16\,200 \div 324 = 50$ cm².

Genel kural: benzerlik oranı $k$ ise

• karşılıklı kenarlar oranı ve çevreler oranı $k$,
• alanlar oranı $k^2$'dir.

Kenarları 3, 4, 5 cm ve 6, 8, 10 cm olan dik üçgenlerle sınayalım: çevreler 12 ve 24 cm (oran $\frac{1}{2}$), alanlar $\frac{3 \cdot 4}{2} = 6$ ve $\frac{6 \cdot 8}{2} = 24$ cm² (oran $\frac{1}{4}$). Tam kural gibi.

Sık yapılan hata: Alan oranını kenar oranıyla aynı sanmak. Ters yönde de aynı hata yapılır: alanlar 16 cm² ve 25 cm² ise çevre oranı $\frac{16}{25}$ değil, bu sayının karekökü olan $\frac{4}{5}$'tir. Küçük üçgenin çevresi 12 cm ise büyüğünki $12 \cdot \frac{5}{4} = 15$ cm olur.

Açılar Eşit, Yine de Benzer Değil

Üçgenlerde işimiz kolaydır: iki açı eşitse üçüncü açı da eşit olmak zorundadır (toplam $180^\circ$), ve açıları eşit iki üçgen her zaman benzerdir. Bütün eşkenar üçgenler bu yüzden birbirine benzer.

Dörtgenlerde ise açılar yetmez. 2 cm × 4 cm ile 3 cm × 5 cm'lik iki dikdörtgenin bütün açıları $90^\circ$'dir ama $\frac{2}{3} \neq \frac{4}{5}$ olduğu için benzer değildirler. Buna karşılık bütün kareler birbirine benzerdir; hem açılar hem kenar oranı sabittir.

Mini soru: 6 cm × 9 cm'lik bir fotoğraf eni 18 cm olacak şekilde, biçimi bozulmadan büyütülüyor. Boyu kaç cm olur? Cevap: En 3 katına çıktı, boy da 3 katına çıkar: 27 cm. Boyu 21 cm yapan ($9 + 12$) öğrenci farkı eklemiş, oranı korumamıştır; o zaman fotoğraf uzar, şekli bozulur.

Çözümlü Örnek: A Merdiveninin Emniyet Çubuğu

Bir A merdiveninin iki bacağı tepede birleşiyor. Bacaklar arasına yere paralel bir emniyet çubuğu takılmış. Tepeden çubuğa kadar bacak boyu 80 cm, çubuktan yere kadar 120 cm; çubuk 40 cm uzunluğunda. Merdivenin yerdeki iki ayağı arası kaç cm?

Tepe A, çubuğun uçları D ve E, ayaklar B ve C olsun. [DE] // [BC] olduğu için ADE ve ABC üçgenlerinin açıları eşittir; bu iki üçgen benzerdir.

Oranı tepeden ölçülen uzunluklarla kurun: $|AD| = 80$, $|AB| = 80 + 120 = 200$.

$\dfrac{|DE|}{|BC|} = \dfrac{|AD|}{|AB|} \;\Rightarrow\; \dfrac{40}{|BC|} = \dfrac{80}{200} \;\Rightarrow\; |BC| = 100$ cm

Yanılgı: Oranı $\frac{80}{120}$ ile kurup 60 cm bulmak. 120 cm küçük üçgenin hiçbir kenarına karşılık gelmez; o parça yalnız büyük üçgende vardır. Eşleşen kenarlar aynı köşeden (A'dan) başlar.

Yeni Nesil Soruda İpucu

• "Ölçek", "maket", "plan" sözcükleri benzerlik oranıdır. Soruda alan isteniyorsa oranın karesini alın: 1 : 50 ölçekli planda alanlar oranı $\frac{1}{2500}$'dür.
• Birim dönüşümünü sona bırakmayın: harita sorusunda cm'yi km'ye çevirmek için 100 000'e bölünür.
• Şekilde paralel bir doğru parçası varsa benzer üçgen arayın; oranı ortak köşeden kurun.
• İki şekil "benzer" deniyorsa önce eşleşen kenarları bulun: en kısa kenar en kısayla, en uzun en uzunla eşleşir.

Sık sorulanlar