9. Sınıf Eşlik ve Benzerlik — Konu Anlatımı

İki Kat Büyük Fotoğraf, Dört Kat Kâğıt

10 cm × 15 cm'lik bir fotoğrafı "iki kat büyüğü" olarak bastırmak istiyorsunuz. Fotoğrafçı 20 cm × 30 cm'lik kâğıt kullanıyor. Çoğu kişi "iki kat büyük, iki kat kâğıt" diye düşünür. Hesaplayalım:

$10 \cdot 15 = 150$ cm² ve $20 \cdot 30 = 600$ cm²

Kâğıt 4 kat. Kenarlar 2 katına çıktı, ama alan iki kenarın çarpımı olduğu için $2 \cdot 2 = 4$ katına çıktı. Bu, benzerlik konusunun en çok puan kaybettiren noktası: benzerlik oranı $k$ ise alanlar oranı $k^2$, hacimler oranı $k^3$'tür.

Fotoğraf ile büyütülmüş hâli benzerdir ($\sim$): açılar aynı, kenarlar orantılı. Aynı fotoğraftan iki kopya bastırsaydık bunlar eş olurdu ($\cong$): açılar ve kenarlar birebir aynı, benzerlik oranı 1.

Hangi Hareket Şekli Değiştirmez?

Bir şekli kaydırmak (öteleme), döndürmek ya da aynada yansıtmak onun boyutunu değiştirmez; görüntü asıl şekle eştir. Ölçekleme ise boyutu değiştirir, görüntü benzer olur.

Dönme için bir örnek: $A(3, 2)$ noktası orijin etrafında saat yönünün tersine $90^\circ$ döndürülürse $(x, y) \to (-y, x)$ kuralıyla $A'(-2, 3)$ olur. Orijine uzaklık değişmez: $\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{13}$.

İki üçgenin eş olduğunu göstermek için altı eşitliğin hepsi gerekmez. Üç ölçüt yeter:

• K.K.K.: üç kenar karşılıklı eşit
• K.A.K.: iki kenar ve aralarındaki açı eşit
• A.K.A.: iki açı ve aralarındaki kenar eşit

Benzerlik için daha azı yeter: A.A. ölçütüne göre iki açısı eşit üçgenler benzerdir, çünkü üçüncü açılar da 180'den kalan olarak eşit çıkar.

Merdivene Çıkmadan Ağacın Boyu

Güneşli bir öğleden sonra 1,5 m'lik bir çubuğu yere dik tutuyorsunuz; gölgesi 2 m. Aynı anda bahçedeki ağacın gölgesi 10 m. Güneş ışınları birbirine paralel geldiği için çubuk-gölge üçgeni ile ağaç-gölge üçgeninin açıları aynıdır: A.A. benzerliği.

$\dfrac{h}{10} = \dfrac{1{,}5}{2} \Rightarrow h = 7{,}5$ m

Mini soru: Akşama doğru çubuğun gölgesi 3 m'ye uzarsa ağacın hesaplanan boyu değişir mi? Aynı anda ölçülürse değişmez; ağacın gölgesi de uzar ve 15 m olur: $\dfrac{1{,}5}{3} = \dfrac{7{,}5}{15}$. Hata, çubuğun akşam gölgesini ağacın öğle gölgesiyle eşleştirince çıkar: $\dfrac{1{,}5}{3} \cdot 10 = 5$ m gibi yanlış bir boy bulunur. Yöntemin tek şartı iki gölgenin aynı anda ölçülmesidir.

Paralel Bir Çizgi Üçgeni Nasıl Böler?

$ABC$ üçgeninde $[DE] \parallel [BC]$ olsun; $D$ noktası $[AB]$, $E$ noktası $[AC]$ üzerinde. Küçük $ADE$ üçgeni büyük $ABC$ üçgenine benzerdir (Temel Benzerlik Teoremi, Tales).

$AD = 6$, $DB = 4$, $AE = 9$ ise:

$\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC} \Rightarrow \dfrac{6}{4} = \dfrac{9}{EC} \Rightarrow EC = 6$

Şimdi $BC = 15$ verilsin, $DE$ soruluyor. Burada öğrencilerin en çok karıştırdığı adım geliyor: $\dfrac{DE}{BC}$ oranı $\dfrac{AD}{DB}$ ile değil, $\dfrac{AD}{AB}$ ile kurulur, çünkü $DE$ küçük üçgenin, $BC$ büyük üçgenin kenarıdır.

$\dfrac{DE}{15} = \dfrac{6}{10} \Rightarrow DE = 9$

Yanlış oranla ($\frac{6}{4}$) hesaplayan 22,5 bulur; küçük üçgenin kenarı büyüğünkünden uzun çıkar, bu da hatayı ele verir.

Dik Üçgenin İçinde Üç Benzer Üçgen

Dik üçgende dik köşeden hipotenüse bir yükseklik indirin. Büyük üçgen iki küçük üçgene ayrılır ve üçü de birbirine benzerdir. Bu benzerlikten Öklid bağıntıları çıkar. Yükseklik hipotenüsü $p$ ve $k$ parçalarına ayırıyorsa:

$h^2 = p \cdot k$ · $\ b^2 = p \cdot c$ ($b$: $p$ parçasına komşu dik kenar, $c$: hipotenüs)

Parçalar 4 ve 9 ise $h^2 = 36$, $h = 6$. Hipotenüs 25, bir dik kenarın izdüşümü 9 ise o dik kenar $\sqrt{9 \cdot 25} = 15$. Pisagor'la kontrol: öbür dik kenar $\sqrt{625 - 225} = 20$ ve $15^2 + 20^2 = 625 = 25^2$ ✓

İki özel dik üçgen ezberden değil benzerlikten hatırlanır:

• $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$: kenarlar $1 : \sqrt{3} : 2$. Kısa dik kenar 7 ise hipotenüs 14, uzun dik kenar $7\sqrt{3}$.
• $45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$: kenarlar $1 : 1 : \sqrt{2}$. Dik kenar 5 ise hipotenüs $5\sqrt{2}$.

Çevre k, Alan k Kare, Hacim k Küp

Benzerlik oranı $\frac{2}{5}$ olan iki üçgenden küçüğünün çevresi 18 br ise büyüğünün çevresi $18 \cdot \frac{5}{2} = 45$ br. Çevre bir uzunluk olduğu için oran $k$ kalır.

Kenar oranı $\frac{2}{3}$ ise alanlar oranı $\frac{4}{9}$; iki benzer cismin benzerlik oranı $\frac{1}{2}$ ise hacimler oranı $\frac{1}{8}$.

Sık yapılan hata: Ters yönde de aynı tuzak var. İki üçgenin alanları oranı 4 diye benzerlik oranını 4 sanmak yanlıştır; $k^2 = 4$ olduğundan $k = 2$.

Sınav ipucu: Soruda "çevre" görürseniz $k$, "alan" görürseniz $k^2$, "hacim, kütle, su miktarı" görürseniz $k^3$ kullanın. Paralel çizgili şekillerde oranı kurmadan önce hangi kenarın hangi üçgene ait olduğunu şekil üzerinde işaretleyin.

Sık sorulanlar