Her Eşleme Fonksiyon mudur?
Üç arkadaşın doğum aylarını eşleyelim: Ali → Mart, Buse → Mart, Can → Ekim. Bu eşleme bir fonksiyondur. Her kişinin tek bir doğum ayı var; iki kişinin aynı aya gitmesi kuralı bozmaz.
Şimdi ters çevirin: Mart → ?, Ekim → Can. Mart iki kişiye gidiyor. Hangisi? Cevap tek değil, bu yüzden bu eşleme fonksiyon değildir. Ayrıca Ocak gibi hiç kimseye gitmeyen aylar da var.
Tanım: $f: A \to B$ bir fonksiyon ise $A$'nın her elemanı $B$'de tek bir elemana gider. İki şart vardır: "her eleman gider" ve "tek yere gider".
Grafikte bunu düşey doğru testiyle sınarız: çizilen her düşey doğru grafiği en fazla bir noktada kesmelidir. $x^2 + y^2 = 25$ çemberi fonksiyon değildir; $x = 3$ doğrusu onu $(3, 4)$ ve $(3, -4)$ noktalarında keser.
Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi
Doğum ayı örneğinde $A = \{\text{Ali}, \text{Buse}, \text{Can}\}$ tanım kümesi, 12 ayın tamamı değer kümesi, gerçekten kullanılan aylar $\{\text{Mart}, \text{Ekim}\}$ ise görüntü kümesidir.
Sayılarla: $A = \{-2, -1, 0, 1\}$ ve $f(x) = x^2$. Görüntüler $4, 1, 0, 1$. Görüntü kümesi $\{0, 1, 4\}$'tür; 1'i iki kez yazmak gerekmez.
Sık yapılan hata: Değer kümesi ile görüntü kümesi aynı sanılıyor. Değer kümesi fonksiyonu tanımlarken seçilen "hedef"tir ($B$); görüntü kümesi bu hedefin gerçekten ulaşılan kısmıdır ve ondan küçük olabilir.
Formülün Gizlediği Tanım Kümesi
Tanım kümesi söylenmeyip yalnız formül verilirse, formülün anlamlı olduğu en geniş gerçek sayı kümesi alınır. İki engel vardır: sıfıra bölme ve negatif sayının karekökü.
- $f(x) = \dfrac{1}{x - 3}$ için $x \neq 3$; tanım kümesi $\mathbb{R} - \{3\}$.
- $f(x) = \sqrt{x - 2}$ için $x - 2 \ge 0$, yani $x \ge 2$.
İkisi bir arada olursa? $f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 2}}{x - 5}$ için $x \ge 2$ ve $x \neq 5$ gerekir: $[2, \infty) - \{5\}$. $x = 5$ kök içini pozitif yapıyor, ama paydayı sıfırlıyor.
İndirim mi Önce, Kupon mu?
Bir mağazada 500 TL'lik montta %20 indirim ve 50 TL'lik kupon var. İndirim $g(x) = 0{,}8x$, kupon $f(x) = x - 50$ fonksiyonudur.
- Önce indirim, sonra kupon: $f(g(500)) = f(400) = 350$ TL. Buna $(f \circ g)(500)$ denir.
- Önce kupon, sonra indirim: $g(f(500)) = g(450) = 360$ TL. Bu $(g \circ f)(500)$'dür.
Sıra değişince sonuç 10 TL değişti. Bileşkenin değişme özelliği yoktur.
Okuma kuralı: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ ifadesinde sağdaki fonksiyon önce çalışır. $f(x) = x + 2$, $g(x) = 3x$ için $(f \circ g)(1) = f(3) = 5$. "Önce $f$" diyerek $g(f(1)) = g(3) = 9$ bulan öğrenci, soldan sağa okuma alışkanlığına yenilmiştir.
Taksimetreyi Tersinden Okumak
Bir taksi binişte 30 TL alıyor, her kilometre için 12 TL ekliyor: $U(x) = 30 + 12x$. Yolculuk 150 TL tuttuysa kaç km gidilmiştir? Burada ücretten mesafeye, yani tersine gidiyoruz:
$150 = 30 + 12x \Rightarrow x = 10$ km
Genel hâli için $y = 30 + 12x$ denkleminden $x$'i çekeriz: $x = \dfrac{y - 30}{12}$. Ters fonksiyon $U^{-1}(x) = \dfrac{x - 30}{12}$'dir ve $U^{-1}(150) = 10$.
Bir örnek daha: $f(x) = 2x - 6$ için $f^{-1}(x) = \dfrac{x + 6}{2}$. $f^{-1}(4) = 5$; gerçekten $f(5) = 4$. Oysa $\dfrac{1}{f(4)} = \dfrac{1}{2}$. $f^{-1}$ gösterimindeki $-1$ bir üs değildir; $\dfrac{1}{f(x)}$ ile karıştırmak bu konunun en klasik yanılgısıdır.
Aynı soru sıcaklıkla da gelir. Saat 06.00'dan $t$ saat sonra sıcaklık $S(t) = 12 + 2t$ °C olsun. Saat 11.00'de sıcaklık kaç derece? $t$ saat değil, geçen süre olduğu için $t = 5$ alınır: $S(5) = 22$ °C. $t = 11$ yazıp 34 °C bulan öğrenci, fonksiyonun değişkeninin neyi ölçtüğüne bakmamıştır. Tersinden: sıcaklık 30 °C olduğunda $12 + 2t = 30$, $t = 9$; saat 15.00'tir.
Tersi Olan Fonksiyonun İki Şartı
Doğum ayı eşlemesinin tersi yoktu, çünkü iki kişi aynı aya gidiyordu. Tersin var olması için fonksiyon bire bir (farklı elemanlar farklı görüntüye) ve örten (değer kümesinde boşta eleman yok) olmalıdır.
$f(x) = x^2$ gerçek sayılarda bire bir değildir: $f(2) = f(-2) = 4$. Tanım kümesini $[0, \infty)$ ile sınırlarsak bire bir olur ve tersi $\sqrt{x}$ çıkar. Grafikte bire birliği yatay doğru testi sınar.
Bire bir ve örten bir $f$ için $f(3) = 7$ ise $f^{-1}(7) = 3$'tür; hiçbir hesap gerekmez. $f$ ile $f^{-1}$ grafikleri $y = x$ doğrusuna göre simetriktir: $(3, 7)$ noktası birinde varsa $(7, 3)$ ötekinde vardır.
Sınav ipucu: Soruda "en geniş tanım kümesi" geçiyorsa payda ve kök içine bakın; "görüntü kümesi" geçiyorsa tanım kümesindeki her elemanı tek tek yerine yazın.
Sık sorulanlar
f⁻¹(x) ile 1/f(x) aynı şey midir?
Hayır. f(x) = 2x − 6 için f⁻¹(4) = 5 iken 1/f(4) = 1/2'dir. f⁻¹ ters fonksiyondur; buradaki −1 üs değildir.
(f ∘ g)(x) ifadesinde hangi fonksiyon önce uygulanır?
Sağdaki, yani g. (f ∘ g)(x) = f(g(x)). Önce %20 indirim sonra 50 TL kupon uygulanırsa 500 TL 350 TL olur; sıra değişirse 360 TL.
Değer kümesi ile görüntü kümesi arasındaki fark nedir?
Değer kümesi fonksiyon tanımlanırken seçilen hedef kümedir. Görüntü kümesi bu kümenin gerçekten ulaşılan kısmıdır; {−2, −1, 0, 1} kümesinde x² için {0, 1, 4}.
Hangi fonksiyonların tersi vardır?
Bire bir ve örten olanların. x² gerçek sayılarda bire bir olmadığı için tersi yoktur; tanım kümesi [0, ∞) alınırsa tersi √x olur.