8. Sınıf Geometrik Cisimler — Konu Anlatımı

Aynı Hacim, Farklı Karton

Bir kargo firmasının iki kutusu var. Birincisi 2 dm × 2 dm × 8 dm, ikincisi 4 dm × 4 dm × 2 dm. İkisine de aynı miktarda ürün sığar mı? Hacimleri hesaplayalım:

$2 \cdot 2 \cdot 8 = 32$ dm³   ve   $4 \cdot 4 \cdot 2 = 32$ dm³

İkisi de 32 litre alıyor (1 dm³ = 1 L). Peki hangisi için daha az karton harcanır? Çoğu öğrenci "hacim aynıysa karton da aynıdır" sanıyor. Yüzey alanlarına bakalım:

• Uzun kutu: $2(2 \cdot 2 + 2 \cdot 8 + 2 \cdot 8) = 2(4 + 16 + 16) = 72$ dm²
• Basık kutu: $2(4 \cdot 4 + 4 \cdot 2 + 4 \cdot 2) = 2(16 + 8 + 8) = 64$ dm²

Basık kutu 8 dm² daha az karton istiyor. Bu konunun temel ayrımı burada: hacim cismin içini doldurur ve birimküple (cm³, dm³, m³) ölçülür; yüzey alanı cismin dışını kaplar ve birimkareyle (cm², m²) ölçülür. Soruda "doldurulur, su alır, sığar" geçiyorsa hacim; "boyanır, kaplanır, ambalajlanır" geçiyorsa yüzey alanı istenir.

Dik Prizma: Taban Alanını Üst Üste Dizmek

Bir deste kâğıdı düşünün: her yaprak tabanla aynı biçimde, deste yükseldikçe hacim artar. Bu yüzden bütün dik prizmalarda

$V = \text{taban alanı} \times \text{yükseklik}$

Örnek: Tabanı dik kenarları 3 cm ve 4 cm, hipotenüsü 5 cm olan dik üçgen, yüksekliği 10 cm olan bir prizma. Taban alanı $\frac{3 \cdot 4}{2} = 6$ cm², hacim $6 \cdot 10 = 60$ cm³.

Yüzey alanı için prizmayı açtığınızı düşünün: iki taban ve yan yüzeyler. Yan yüzeyler yan yana dizilince tek bir dikdörtgen olur; eni taban çevresi, boyu yükseklik. Taban çevresi $3 + 4 + 5 = 12$ cm, yanal alan $12 \cdot 10 = 120$ cm², iki taban $2 \cdot 6 = 12$ cm². Toplam $132$ cm².

Küp, bütün ayrıtları eşit özel bir prizmadır. Ayrıtı 4 cm olan küpün hacmi $4^3 = 64$ cm³, yüzey alanı $6 \cdot 4^2 = 96$ cm². Ters soru: hacmi 125 cm³ olan küpün ayrıtı 5 cm'dir ($5^3 = 125$), yüzey alanı $6 \cdot 25 = 150$ cm².

Sayma soruları da gelir: dikdörtgenler prizmasının 6 yüzü, 12 ayrıtı, 8 köşesi; üçgen dik prizmanın 5 yüzü, 9 ayrıtı, 6 köşesi vardır.

Kâğıt Havlu Rulosunu Kesince

Kâğıt havlunun karton rulosunu boyunca makasla kesip düzleştirin: elinizde bir dikdörtgen kalır. Dikdörtgenin bir kenarı rulonun yüksekliği $h$, öbür kenarı ise ağzındaki çemberin uzunluğu, yani $2\pi r$. Silindirin yanal alanı buradan gelir:

$\text{Yanal alan} = 2\pi r h \qquad \text{Yüzey alanı} = 2\pi r^2 + 2\pi r h \qquad V = \pi r^2 h$

Silindir de bir prizma gibi davranır: taban alanı $\pi r^2$, yüksekliği $h$. Taban yarıçapı 3 cm, yüksekliği 5 cm olan silindirin hacmi ($\pi = 3$ alınırsa) $3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 135$ cm³ olur.

Bir mini soru: yarıçap iki katına çıkarsa hacim kaç katına çıkar? Biraz düşünün. Cevap: 4 katına, çünkü $r$ formülde karesiyle yer alıyor. Yükseklik iki katına çıksaydı hacim yalnız 2 katına çıkardı.

Çözümlü Örnek: Su Deposunu Boyamak

Taban yarıçapı 3 m, yüksekliği 4 m olan silindir biçimli bir su deposunun yan yüzeyi ile üst tabanı boyanacak. Bir kutu boya 10 m² alanı boyuyor. En az kaç kutu boya gerekir? ($\pi = 3$ alınız.)

Hangi yüzeyler? Depo zemine oturduğu için alt taban boyanmaz. Soruyu okurken bunu kaçırıp üç yüzeyi birden toplamak bu sorunun asıl tuzağıdır.

Yanal alan: $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 = 72$ m². Üst taban: $3 \cdot 3^2 = 27$ m². Toplam $99$ m².

Kaç kutu? $99 \div 10 = 9{,}9$. Dokuz kutu 90 m² boyar, 9 m² boyasız kalır; bu yüzden cevap 10 kutudur. "En az kaç kutu" sorusunda sonuç her zaman yukarı yuvarlanır.

Ters soru: Hacmi 1080 cm³, yüksekliği 10 cm olan silindirin yarıçapı kaç cm? ($\pi = 3$)   $3 \cdot r^2 \cdot 10 = 1080 \Rightarrow r^2 = 36 \Rightarrow r = 6$ cm.

Sivri Uçlu Cisimler: Piramit ve Koni

Dik piramidin tabanı bir çokgen, yan yüzleri tepe noktasında birleşen üçgenlerdir. Kare tabanlı dik piramidin 5 yüzü (1 kare + 4 üçgen), 8 ayrıtı ve 5 köşesi vardır. Tabanın kenar sayısı kadar yan yüz bulunur.

Dik koninin tabanı dairedir. Tepe noktasından tabanın merkezine inen dik uzunluk yükseklik, tepeden taban çemberine uzanan uzunluk ise ana doğrudur. Yükseklik, yarıçap ve ana doğru bir dik üçgen oluşturur: $r = 6$ cm, $h = 8$ cm ise ana doğru $\sqrt{36 + 64} = 10$ cm.

Yanılgı: Koninin yanal yüzeyi açılınca üçgen olduğu sanılır. Açınımda yanal yüzey bir daire dilimidir; yay uzunluğu taban çemberine eşittir, yarıçapı da ana doğrudur. Açınımda üçgen gören öğrenci piramitle koniyi karıştırıyordur.

Aynı taban ve yükseklikteki koninin hacmi silindirinkinin üçte biridir. Yukarıdaki koni için ($\pi = 3$): $\frac{3 \cdot 36 \cdot 8}{3} = 288$ cm³.

Boyanmış Küpü Parçalara Ayırmak

Ayrıtı 4 birim olan bir küp dıştan boyanıp $4^3 = 64$ birim küpe ayrılıyor. Kaç tanesinin hiç boyası yoktur?

Boyasız küpler içeride, dış kabuğun altında kalanlardır. Her ayrıttan baştaki ve sondaki birer küp düşülür: iç küp $(4 - 2)^3 = 8$ birim küp. Hepsini sayalım:

• 3 yüzü boyalı: köşelerdeki küpler, 8 tane
• 2 yüzü boyalı: her ayrıtın ortasında $4 - 2 = 2$ tane, $12 \cdot 2 = 24$
• 1 yüzü boyalı: her yüzün ortasında $(4 - 2)^2 = 4$ tane, $6 \cdot 4 = 24$
• Hiç boyasız: 8

Sağlama: $8 + 24 + 24 + 8 = 64$. Sınır durum: Ayrıt 2 birim olsaydı $(2 - 2)^3 = 0$ çıkardı; 8 küpün hepsi köşede kalır ve üçer yüzü boyalı olur.

Sınav ipucu: "π yerine 3 alınız" yazıyorsa sonucu π'li bırakmayın; şıklarda $135$ vardır, $45\pi$ yoktur. Birimlere bakın: 1 L = 1 dm³ = 1000 cm³. Yeni nesil sorularda uzun metnin içinde hangi yüzeyin sayılmadığı (alt taban, kapak) tek bir cümleyle söylenir; o cümle çoğu zaman sorunun kendisidir.

Sık sorulanlar