Prizma ve Silindir
Prizma:
Hacim $= $ taban alanı $\times$ yükseklik
Yüzey alanı $= 2 \times$ taban alanı $+$ yanal alan
Silindir:
$V = \pi r^2 h$
$A = 2\pi r^2 + 2\pi r h$
Silindirin yanal yüzeyi açıldığında kenarları $2\pi r$ ve $h$ olan bir dikdörtgen elde edilir — formülün kaynağı budur.
Piramit ve Koni
Piramit: $V = \frac{1}{3} \times$ taban alanı $\times$ yükseklik
Koni:
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
$A = \pi r^2 + \pi r \ell$ ($\ell$ ana doğru)
$\ell = \sqrt{r^2 + h^2}$
$\frac{1}{3}$ çarpanı sivrilen bütün cisimlerde ortaktır: aynı tabana ve yüksekliğe sahip koninin hacmi silindirin üçte biridir.
Küre ve Benzerlik
Küre:
$V = \frac{4}{3}\pi r^3$
$A = 4\pi r^2$
Benzer cisimlerde oranlar:
Uzunluklar oranı $= k$
Alanlar oranı $= k^2$
Hacimler oranı $= k^3$
Yarıçapı iki katına çıkan kürenin yüzeyi dört, hacmi sekiz katına çıkar.
Sık Yapılan Hata
Hacim oranını uzunluk oranıyla aynı sanmak. Boyutlar iki katına çıkarsa hacim sekiz katına çıkar.
İkinci hata: koni yüzey alanında yükseklik ($h$) ile ana doğruyu ($\ell$) karıştırmak — yanal alanda ana doğru kullanılır.
Sık sorulanlar
Benzer cisimlerde hacimler oranı nedir?
Benzerlik oranının küpüdür ($k^3$).
Koninin yanal alanında hangi uzunluk kullanılır?
Ana doğru ($\ell$) kullanılır, yükseklik değil.