9. Sınıf Üçgenler ve Doğrular — Konu Anlatımı

Her Üç Çubuk Üçgen Olur mu?

Masada uzunlukları 2 cm, 3 cm ve 7 cm olan üç çubuk var. Uçlarından birleştirip üçgen yapmaya çalışın. Olmuyor: 2 ile 3 cm'lik çubuklar uç uca eklense bile 5 cm eder, 7 cm'lik çubuğun iki ucuna yetişemez.

3, 4 ve 5 cm'lik çubuklarla deneyelim. $3 + 4 = 7 > 5$, üçgen kapanır. Peki 3, 5 ve 8 cm? $3 + 5 = 8$; iki kısa çubuk uzun olanın üstüne tam yatar, köşe oluşmaz. Sonuç düz bir çizgidir, üçgen değil.

Buradan üçgen eşitsizliği çıkar: kenarları $a$, $b$ ve $x$ olan bir üçgende

$|a - b| < x < a + b$

İki kenarı 5 ve 9 birim olan üçgende $4 < x < 14$ olur. $x$ tam sayıysa 5, 6, …, 13 değerlerini alabilir: 9 farklı değer. Bu üçgenin çevresi en az $5 + 9 + 5 = 19$, en çok $5 + 9 + 13 = 27$ birimdir.

180 Derece Nereden Geliyor?

İki paralel doğruyu bir üçüncü doğru kestiğinde sekiz açı oluşur ve bunlar en çok iki farklı ölçü alır. Aynı konumdaki yöndeş açılar eşittir; kesenin iki yanında, paralellerin arasında kalan iç ters açılar da eşittir. Aynı tarafta, paralellerin arasındaki iki açı ise bütünlerdir; toplamları $180^\circ$.

Şimdi bir üçgenin tepe köşesinden tabana paralel bir doğru çizin. Tepede yan yana üç açı oluşur: ortadaki üçgenin tepe açısı, iki yandakiler iç ters açı olduğu için taban açılarına eşit. Yan yana duran bu üç açı bir doğru açı oluşturur. İşte bu yüzden üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$'dir.

Örnek: İki açısı $50^\circ$ ve $70^\circ$ olan üçgenin üçüncü açısı $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Açılar $2x$, $3x$ ve $4x$ verilmişse $9x = 180^\circ$, $x = 20^\circ$ ve en büyük açı $4x = 80^\circ$.

Dış Açı: İki Adımı Tek Adıma İndirmek

Üçgenin bir kenarını uzatınca dışarıda oluşan açıya dış açı denir. Dış açı ile komşu iç açı bütünlerdir. Bir de kısayol var: dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Neden? Komşu olmayan açılar $45^\circ$ ve $65^\circ$ olsun. Üçüncü iç açı $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$, dış açı $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. Sonuç baştaki toplamla aynı; kısayol her zaman bu iki adımı birleştirir.

Ters soru: Dış açısı $130^\circ$ olan köşedeki iç açı $180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$'dir. Her köşeden birer dış açı alınırsa üçünün toplamı $3 \cdot 180^\circ - 180^\circ = 360^\circ$ eder.

Özel Üçgenler ve Alan

İkizkenar üçgen: iki kenarı eşit olan üçgende bu kenarların karşısındaki taban açıları da eşittir. Tepe açısı $40^\circ$ ise taban açıları $\dfrac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$ olur.

Eşkenar üçgen: üç kenar eşitse üç açı da eşittir; her biri $60^\circ$. Çeşitkenar üçgende üç kenar da farklıdır.

Dik üçgende bir açı $90^\circ$ olduğundan kalan iki dar açının toplamı $90^\circ$'dir; biri $35^\circ$ ise öbürü $55^\circ$.

Alan: $A = \dfrac{\text{taban} \cdot \text{yükseklik}}{2}$. Alanı 24 br², tabanı 8 br olan üçgende yükseklik $\dfrac{2 \cdot 24}{8} = 6$ br. Dik kenarları 6 ve 8 br olan dik üçgende dik kenarlardan biri taban, öbürü yükseklik olur: alan $\dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24$ br². Tabanları eşit, yükseklikleri 4 ve 8 br olan iki üçgenin alanları oranı da $\dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$'dir; taban ortak olunca alan yalnız yükseklikle değişir.

Büyük Kenarın Karşısında Büyük Açı

Açıları $40^\circ$, $60^\circ$ ve $80^\circ$ olan bir üçgende en uzun kenar $80^\circ$'lik açının karşısındadır. Kenarları 6, 8 ve 10 br olan üçgende de en büyük açı 10 br'lik kenarın karşısındadır. Hatta $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$ olduğu için bu açı tam $90^\circ$'dir.

Sık yapılan hata: "İki kenar uzunsa aralarındaki açı en büyüktür" demek. Durum tam tersi. En uzun iki kenarın arasındaki açı, en kısa kenarın karşısında kalır; dolayısıyla üçgenin en küçük açısıdır. Kenarları 6, 8 ve 10 olan üçgende 8 ile 10'un arasındaki açı, 6'nın karşısındaki en küçük açıdır. Kural her zaman "karşısında" der, "arasında" demez.

İkinci bir yanılgı, eşitsizlikte eşitliğe izin vermektir. Kenarları 2, 3 ve 7 olan üçlü üçgen oluşturmaz; $2 + 3 = 5 < 7$. Eşitlik durumu (3, 5, 8) da üçgen değildir.

Sınav ipucu: Şekilde açılar verilip "en uzun kenar hangisi" soruluyorsa önce eksik açıyı 180'den bulun, sonra en büyük açının karşısındaki kenarı işaretleyin. Kenarlar verilip üçüncü kenarın tam sayı değerleri soruluyorsa uçları dahil etmeyin; 5 ve 9 için cevap 4 ile 14 değil, 5'ten 13'e kadardır.

Sık sorulanlar