10. Sınıf Dörtgenler ve Çember — Konu Anlatımı

Kenarlar Aynı, Alan Neden Değişti?

Kenarları 8 cm ve 6 cm olan dört çıtayı köşelerinden menteşeyle birleştirin. Dikdörtgen hâlinde alan $8 \cdot 6 = 48$ cm²'dir. Şimdi çerçeveyi yana doğru itin: kenarlar aynı kalır, şekil bir paralelkenara döner ve basıklaştıkça alan küçülür. Peki alan neye bağlı?

Taban 8 cm. Alan, tabana dik yükseklikle çarpılır; eğik kenarla değil. Eğik kenar 6 cm, tabanla yaptığı açı $\alpha$ ise yükseklik $h = 6\sin\alpha$ olur:

$A = 8 \cdot 6 \cdot \sin\alpha$

• $\alpha = 90^\circ$: $A = 48$ cm² (dikdörtgen)
• $\alpha = 60^\circ$: $A = 48 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3} \approx 41{,}6$ cm²
• $\alpha = 30^\circ$: $h = 6 \cdot \dfrac{1}{2} = 3$ ve $A = 8 \cdot 3 = 24$ cm²

Paralelkenarı bir köşegenle ikiye bölerseniz iki eş üçgen çıkar. Kenarları 6 ve 8, aralarındaki açı 30° olan üçgenin alanı bu yüzden $\dfrac{24}{2} = 12$ cm²'dir.

Eğik Kenar Yükseklik Değildir

Sık yapılan hata: Paralelkenarın alanını iki kenarın çarpımı sanmak. 30°'lik çerçevede $8 \cdot 6 = 48$ yazan öğrenci, alanı iki katı bulur. Yükseklik, üst kenardan tabana inen dik parçadır ve eğik kenardan her zaman kısadır (dik açı hariç).

Bir kontrol yolu: $\sin\alpha$ hiçbir zaman 1'i geçmez, bu yüzden kenarları 6 ve 8 olan bir paralelkenarın alanı 48'den büyük olamaz. Hesapta 60 çıktıysa bir yerde hata vardır. Aynı sebeple bir açının sinüsünü 1,4 bulan hesap da yanlıştır.

Dörtgenin iç açıları toplamı her zaman $360^\circ$'dir. Paralelkenarda karşılıklı açılar eşit, komşu açıların toplamı $180^\circ$'dir: bir açı 70° ise komşusu 110°'dir. Menteşeli çerçevede bir köşe daralırken komşu köşenin genişlemesi bundandır.

Köşegenlerle Alan

Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik ortalar. Köşegenler 10 cm ve 24 cm ise alan

$A = \dfrac{e \cdot f}{2} = \dfrac{10 \cdot 24}{2} = 120 \text{ cm}^2$

Kenarı bulmak için köşegenlerin yarıları kullanılır: 5 ve 12 dik kenarlı üçgenden $\sqrt{25 + 144} = 13$ cm. Çevre $4 \cdot 13 = 52$ cm.

Kare de bir eşkenar dörtgendir; köşegeni 8 cm olan karenin alanı $\dfrac{8^2}{2} = 32$ cm²'dir. Kenarından da deneyin: kenar $\dfrac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$, alan $(4\sqrt{2})^2 = 32$. Tabanları 10 cm ve 6 cm, yüksekliği 4 cm olan yamuğun alanı ise $\dfrac{10 + 6}{2} \cdot 4 = 32$ cm². Üç farklı şekil, aynı alan.

Merkezden Bakmak, Çemberin Üstünden Bakmak

Köşesi çemberin merkezinde olan açı merkez açıdır ve gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. Köşesi çemberin üzerinde olan açı çevre açıdır ve gördüğü yayın yarısıdır. 100°'lik bir yayı merkezden 100°, çemberin üstünden 50° açıyla görürsünüz.

Bir tiyatroda sahnenin iki ucu bir çemberin üzerinde olsun. Sahnenin karşısındaki yay boyunca dizilmiş bütün koltuklardan sahne aynı açıyla görülür; çünkü aynı yayı gören çevre açılar eşittir. Ortadaki koltuk ile kenardaki koltuk arasında bu açıdan fark yoktur.

Çap, 180°'lik yay görür. Çapı gören çevre açı bu yüzden $90^\circ$'dir (Thales). Mini soru: bir dik üçgenin hipotenüsü 10 cm ise çevrel çemberinin yarıçapı kaçtır? Hipotenüs çap olur; yarıçap 5 cm.

Pizza Dilimiyle Yay ve Daire Dilimi

30 cm çaplı bir pizza 8 eşit dilime kesiliyor. Her dilimin merkez açısı $\dfrac{360^\circ}{8} = 45^\circ$, yarıçap 15 cm.

Dilimin kabuk uzunluğu (yay): $\ell = \dfrac{45}{360} \cdot 2\pi \cdot 15 = \dfrac{15\pi}{4} \approx 11{,}8$ cm

Dilimin alanı: $A = \dfrac{45}{360} \cdot \pi \cdot 15^2 = \dfrac{225\pi}{8} \approx 88{,}4$ cm²

İki tane 24 cm'lik pizza mı, bir tane 34 cm'lik pizza mı daha fazla? Yarıçaplar 12 ve 17: $2 \cdot \pi \cdot 144 = 288\pi$ ve $\pi \cdot 289 = 289\pi$. Tek büyük pizza az farkla kazanıyor, oysa çaplar toplandığında (48'e 34) iki küçüğün çok daha büyük olduğu sanılır. Alan yarıçapın karesiyle büyür.

Çember ile daire de karıştırılır: çember yalnız kenar çizgisidir, çevresi $2\pi r$; daire iç bölgeyle birlikte alandır, alanı $\pi r^2$. $\pi \approx \dfrac{22}{7}$ alınırsa yarıçapı 7 olan çemberin çevresi $2 \cdot \dfrac{22}{7} \cdot 7 = 44$ birimdir.

Teğet Yarıçapa Diktir

Çembere tek noktada değen doğru teğettir ve değme noktasında yarıçapa diktir. Bu dik açı, teğet sorularının neredeyse tamamında Pisagor'u kullanmamızı sağlar.

Yarıçapı 5 cm olan çemberin merkezine 13 cm uzaklıktaki $P$ noktasından çizilen teğetin uzunluğu: $\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ cm. Aynı noktadan çizilen iki teğet de 12 cm'dir; dış noktadan çizilen teğet uzunlukları eşittir.

Sınav ipucu: Şekilde bir teğet ve merkez varsa ilk iş değme noktasına yarıçapı çizip dik açıyı işaretlemektir. Soru bir dörtgenin iki kenarını ve aradaki açıyı veriyorsa alan için $a \cdot b \cdot \sin\alpha$ düşünün.

Sık sorulanlar