11. Sınıf Analitik Geometride Çember ve Dönüşümler — Konu Anlatımı

Baz İstasyonu 5 km'ye Kadar Çekiyorsa

Bir köyün haritası kilometre birimli bir koordinat düzlemine yerleştirilmiş. Baz istasyonu $M(2, 1)$ noktasında ve 5 km'ye kadar sinyal veriyor. Hangi evler çeker?

Bir evin $P(x, y)$ noktasında sinyal alması için $M$'ye uzaklığı en çok 5 olmalı: $\sqrt{(x - 2)^2 + (y - 1)^2} \leq 5$. Kapsamanın sınırında eşitlik vardır; iki tarafın karesi alınınca

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$

bulunur. Çember denklemi aslında uzaklık formülünün karesidir. Merkezi $(a, b)$, yarıçapı $r$ olan çember: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.

• $E_1(5, 5)$: $9 + 16 = 25$ → tam sınırda.
• $E_2(7, 3)$: $25 + 4 = 29 > 25$ → kapsama dışında.
• $E_3(-1, -2)$: $9 + 9 = 18 < 25$ → içeride.

Parantezler Açılınca: Genel Denklem

Aynı çemberin parantezleri açılırsa $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ olur. Genel biçim $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$; merkez $\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$, yarıçap $r = \frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$.

Tersinden deneyelim: $x^2 + y^2 + 6x - 8y + 9 = 0$. Merkez $(-3, 4)$, $r = \frac{1}{2}\sqrt{36 + 64 - 36} = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$.

Her ikinci derece denklem çember değildir. $x^2$ ile $y^2$'nin katsayıları eşit olmalı, $xy$ terimi bulunmamalı. Kök içi de pozitif olmalı: $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 10 = 0$ için $4 + 16 - 40 = -20 < 0$; böyle bir çember yoktur. Kök içi sıfırsa denklem tek bir nokta verir.

Sık yapılan hata: $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$ denkleminde merkez $(3, -4)$ sanılıyor. Parantez içini sıfır yapan değerler merkezdir: $x = -3$, $y = 4$.

Köy Yolu Kapsama Alanını Kesiyor mu?

Köyden geçen yolun denklemi $3x + 4y - 35 = 0$. Yolda sinyal olup olmadığını anlamak için merkezin doğruya uzaklığı yarıçapla karşılaştırılır:

$d = \dfrac{|3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 - 35|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{25}{5} = 5$

$d = r$: yol çembere teğettir, yalnız bir noktada sinyal alır. O nokta $E_1(5, 5)$'tir; $3 \cdot 5 + 4 \cdot 5 = 35$ ile doğrunun üzerinde olduğu görülür.

Teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir. Vektörlerle gösterelim: yarıçap vektörü $\overrightarrow{ME_1} = (3, 4)$, yolun doğrultusu $(4, -3)$. Skaler çarpım $3 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 0$; sıfır olduğu için diktirler. Vektörün uzunluğu $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$, yani yarıçap.

Başka bir yol $3x + 4y - 20 = 0$ olsun: $d = \frac{|6 + 4 - 20|}{5} = 2 < 5$, çemberi iki noktada keser. $3x + 4y + 20 = 0$ için $d = \frac{30}{5} = 6 > 5$, yol hiç sinyal almaz.

İstasyon Taşınırsa: Öteleme, Yansıma, Dönme

İstasyon 3 km doğuya, 2 km güneye taşınıyor: $(x, y) \to (x + 3, y - 2)$. Yeni merkez $(5, -1)$, yarıçap aynı: $(x - 5)^2 + (y + 1)^2 = 25$. Şekil bozulmaz, yalnız yeri değişir.

• $x$ eksenine göre yansıma $(x, y) \to (x, -y)$: merkez $(2, -1)$.
• Orijine göre yansıma $(x, y) \to (-x, -y)$: merkez $(-2, -1)$.
• Orijin etrafında $90^\circ$ dönme $(x, y) \to (-y, x)$: merkez $(-1, 2)$.

Çemberi dönüştürürken yalnız merkezi dönüştürmek yeter; yarıçap korunur. Peki $y = x$ doğrusuna göre yansımada merkez nereye gider? Koordinatlar yer değiştirir: $(1, 2)$.

Koordinatlarla Dörtgen ve Çokgen: Testlere Köprü

Bu konunun testleri çokgen ve dörtgen özelliklerini soruyor. Koordinatlar bu özellikleri ölçerek sınamayı sağlar.

$A(0, 0)$, $B(4, 0)$, $C(5, 3)$, $D(1, 3)$ dörtgeni: $\overrightarrow{AB} = (4, 0)$ ve $\overrightarrow{DC} = (4, 0)$ eşit, yani karşılıklı kenarlar paralel ve eşit; paralelkenardır. Taban 4, yükseklik 3, alan 12. Köşegenlerin orta noktası ikisinde de $(2{,}5;\ 1{,}5)$: köşegenler birbirini ortalar. Uzunlukları $\sqrt{34}$ ve $\sqrt{18}$, eşit değil; dikdörtgen değildir.

Eşit köşegen dikdörtgen için yetmez. $(0, 0)$, $(6, 0)$, $(4, 3)$, $(2, 3)$ ikizkenar yamuğunun iki köşegeni de 5 birimdir. Orta tabanı $\frac{6 + 2}{2} = 4$, alanı $4 \cdot 3 = 12$.

Düzgün çokgenler çembere çizilir. Düzgün altıgenin köşeleri çember üzerinde $60^\circ$ arayla durur; kenarı yarıçapa eşittir, iç açısı $120^\circ$'dir. $n$ kenarlı çokgende iç açılar toplamı $(n - 2) \cdot 180^\circ$, dış açılar toplamı her zaman $360^\circ$, köşegen sayısı $\frac{n(n - 3)}{2}$. Yedigende iç açılar toplamı $900^\circ$, köşegen sayısı 14. Düzgün on ikigenin bir dış açısı $30^\circ$, iç açısı $150^\circ$'dir.

Sınav ipucu: "Teğet" kelimesini görünce merkezin doğruya uzaklığını yarıçapa eşitleyin. Köşeleri verilen dörtgende türü sorulursa önce karşılıklı kenar vektörlerine, sonra köşegen uzunluklarına bakın.

Sık sorulanlar