Çanak Anten Neden Parabol?
Uydudan gelen sinyaller Dünya'ya birbirine paralel ışınlar olarak ulaşır. Çanak antenin işi, bu ışınların hepsini tek bir noktada, alıcının durduğu yerde toplamaktır. Bunu yapabilen tek eğri paraboldür ve o noktaya odak denir.
Tanım uzaklıkla verilir: parabol, sabit bir noktaya (odak) ve sabit bir doğruya (doğrultman) eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesidir. Tepe noktası orijinde, eksen $x$ ekseni üzerindeyse:
$y^2 = 4px$ odak $F(p, 0)$, doğrultman $x = -p$
Eksen $y$ ekseniyse harfler yer değiştirir: $x^2 = 4py$. Lisede tanıdığınız $y = ax^2 + bx + c$ grafiği de bu ailedendir; tepe noktası $x = -\frac{b}{2a}$'dadır. $y = x^2 - 6x + 5$ için tepe $(3, -4)$ olur.
Alıcı Nereye Konmalı?
Ağız çapı 60 cm, derinliği 9 cm olan bir çanak düşünün. Alıcı tepe noktasından kaç cm uzağa yerleştirilmeli?
Tepeyi orijine, ekseni $x$ eksenine koyalım. Çanağın ağız kenarı tepeden 9 cm ileride ve eksenden 30 cm yukarıda: $(9, 30)$ noktası parabolün üzerinde.
$30^2 = 4p \cdot 9 \Rightarrow 900 = 36p \Rightarrow p = 25$
Odak tepeden 25 cm uzakta. Dikkat: bu, çanağın derinliğinden (9 cm) büyük; alıcı çanağın ağzından dışarıda, bir kolun ucunda durur. Evlerdeki antenlerde alıcının neden uzun bir çubuğa takıldığını bu hesap açıklıyor.
Aynı özellik tersine de çalışır: araç farında ampul odağa konunca çıkan ışık paralel demet hâlinde ileri gider.
İp ve İki Kazıkla Elips
Bahçıvanlar oval çiçek tarhını şöyle çizer: yere aralarında 6 m olan iki kazık çakılır, 10 m'lik bir ipin iki ucu kazıklara bağlanır, ip bir çubukla gergin tutularak etrafta dolaşılır. Çubuğun izlediği yol bir elipstir.
Neden? Çubuk nerede olursa olsun iki kazığa uzaklıklarının toplamı ipin boyuna, 10 m'ye eşittir. Elipsin tanımı budur; kazıklar odaklardır.
- Uzaklıklar toplamı $2a = 10 \Rightarrow a = 5$
- Odaklar arası $2c = 6 \Rightarrow c = 3$
- Elipste $a^2 = b^2 + c^2 \Rightarrow b^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow b = 4$
$\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$
Tarh 10 m uzunluğunda, 8 m genişliğinde olur. $\left(3, \frac{16}{5}\right)$ noktası üzerinde mi? $\frac{9}{25} + \frac{256/25}{16} = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$. Evet.
Mini soru: kazıkları birbirine yaklaştırıp sonunda aynı yere çakarsak ne olur? $c = 0$ olur, $a = b$ çıkar ve elips çembere dönüşür. Çember, odakları çakışmış bir elipstir. Elipsin ne kadar "yassı" olduğunu $e = \frac{c}{a}$ oranı ölçer: tarhta $e = 0{,}6$, Dünya'nın yörüngesinde yaklaşık $0{,}017$ — neredeyse çember.
Aynı Harfler, Ters Roller: Hiperbol
Aralarında 10 km bulunan iki istasyon aynı anda sinyal yayıyor. Bir gemi sinyallerin kendisine ulaşma zamanları arasındaki farkı ölçüyor ve bundan, iki istasyona uzaklıkları arasındaki farkın 6 km olduğunu hesaplıyor. Gemi nerede olabilir?
İki sabit noktaya uzaklıkların farkı sabit olan noktaların kümesi hiperboldür:
- $2a = 6 \Rightarrow a = 3$
- $2c = 10 \Rightarrow c = 5$
- Hiperbolde $c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow b^2 = 25 - 9 = 16$
$\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$
Gemi bu eğrinin bir kolu üzerinde. Üçüncü bir istasyonla ikinci bir hiperbol çizilir; iki eğrinin kesiştiği yer geminin konumudur. Uydu tabanlı konum sistemlerinden önce denizde yön bulma böyle yapılıyordu.
Hiperbolün iki kolu, asimptot denen iki doğruya giderek yaklaşır ama değmez: $y = \pm\frac{b}{a}x = \pm\frac{4}{3}x$.
Elips örneğiyle karşılaştırın: ikisinde de 3, 4, 5 sayıları çıktı, ama roller ters. Elipste $a$ en büyüğüydü ($a = 5$), hiperbolde $c$ en büyüğü ($c = 5$).
Denkleme Bakıp Eğriyi Tanımak
Sık yapılan hata: Elipste de $c^2 = a^2 + b^2$ kullanmak. Bu bağıntı hiperbolündür. Elipste odaklar eğrinin içinde kaldığı için $c < a$ olmalıdır; $c^2 = a^2 - b^2$. Hiperbolde odaklar kolların dışında kaldığı için $c > a$'dır; $c^2 = a^2 + b^2$. Hangisinin doğru olduğunu ezberden değil, odağın nerede durduğundan çıkarabilirsiniz.
İkinci yanılgı: elipste $a$'yı her zaman $x^2$'nin altındaki sayı sanmak. $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1$ denkleminde büyük payda 25, $y^2$'nin altında. Büyük eksen $y$ ekseni üzerindedir: $a = 5$, $b = 3$, $c = 4$, odaklar $(0, \pm 4)$.
| Denklemde gördüğünüz | Eğri | Sabit olan |
|---|---|---|
| Yalnız bir değişkenin karesi | Parabol | Odağa ve doğrultmana uzaklık eşit |
| İki kare, aralarında $+$ | Elips (paydalar eşitse çember) | Odaklara uzaklıkların toplamı ($2a$) |
| İki kare, aralarında $-$ | Hiperbol | Odaklara uzaklıkların farkı ($2a$) |
Sınav ipucu: Konik sorusunda önce işarete bakın, sonra hangi paydanın büyük olduğuna. Odak istendiğinde $c$'yi doğru bağıntıyla bulun; eksantriklik soruluyorsa $e = \frac{c}{a}$: çemberde 0, elipste 0 ile 1 arası, parabolde 1, hiperbolde 1'den büyük (örnekteki hiperbolde $\frac{5}{3}$).
Sık sorulanlar
Elips ile hiperbol tanım olarak nasıl ayrılır?
Elipste iki odağa uzaklıkların toplamı, hiperbolde farkı sabittir. Denklemde de elipste kareler arasında artı, hiperbolde eksi işareti bulunur.
Elipste ve hiperbolde c nasıl bulunur?
Elipste c² = a² − b², hiperbolde c² = a² + b². Elipste odaklar eğrinin içinde olduğu için c < a, hiperbolde dışında olduğu için c > a'dır.
Parabolün odak özelliği nerede kullanılır?
Çanak antenlerde ve farlarda. Eksene paralel gelen ışınlar odakta toplanır; odaktan çıkan ışık da paralel demet hâlinde yansır. Ağız çapı 60 cm, derinliği 9 cm olan çanağın odağı tepeden 25 cm uzaktadır.
Çember bir elips midir?
Evet, iki odağı çakışmış (c = 0) bir elipstir. Bu durumda a = b olur ve eksantriklik 0'dır.