12. Sınıf İntegral — 12. Sınıf Konu Anlatımı — Konu Anlatımı

Maliyetin Türevi Biliniyorsa Maliyet Ne?

Bir tişört baskı atölyesinde muhasebeci bir tablo tutuyor: $x$ yüz tişört basılmışken bir sonraki tişörtün maliyete eklediği tutar, yani marjinal maliyet, $C'(x) = 6x + 20$ (bin TL) ile veriliyor. Patron ise toplam maliyeti, $C(x)$'i soruyor.

Elimizde türev var, fonksiyonun kendisini arıyoruz. Türevi $6x + 20$ olan fonksiyon hangisi? $3x^2 + 20x$ işe yarıyor: türevi $6x + 20$. Ama $3x^2 + 20x + 50$ da, $3x^2 + 20x + 7$ de aynı türevi veriyor. Hangisi doğru?

Cevap tabloda değil, kira sözleşmesinde: hiç tişört basılmasa bile atölyenin aylık 50 bin TL sabit gideri var. Yani $C(0) = 50$ ve

$C(x) = 3x^2 + 20x + 50$

200 tişört ($x = 2$) için $C(2) = 12 + 40 + 50 = 102$ bin TL. Türevden fonksiyona geri gitme işlemine integral, sonuca eklenen belirsiz sabite $+c$ diyoruz. Atölyede $c$'nin bir adı bile var: sabit gider.

Neden Hep +c Yazılıyor?

$\int f(x)\,dx = F(x) + c$ yazımı, "türevi $f$ olan bütün fonksiyonlar" demektir. $x^2$, $x^2 + 5$ ve $x^2 - 3$'ün türevi aynıdır, $2x$. Grafikte bunlar birbirinin dikey kaydırılmış kopyalarıdır; türev yalnız eğimi bildiği için yüksekliği söyleyemez.

Ailenin içinden tek bir fonksiyonu seçmek için bir başlangıç koşulu gerekir. $F'(x) = 3x^2$ ve $F(1) = 4$ ise $F(x) = x^3 + c$, $1 + c = 4$, $c = 3$; sonuç $F(x) = x^3 + 3$.

Kuralları Türevden Geri Okumak

• $\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c \quad (n \neq -1)$
• $\int \frac1x\,dx = \ln|x| + c$
• $\int e^{x}\,dx = e^{x} + c$
• $\int \cos x\,dx = \sin x + c \qquad \int \sin x\,dx = -\cos x + c$

Kuvvet kuralında üs bir artırılır, yeni üsse bölünür:

• $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + c$, $\int x^5\,dx = \frac{x^6}{6} + c$
• $\int 4x^3\,dx = x^4 + c$ (katsayı dışarı çıkar: $4 \cdot \frac{x^4}{4}$)
• $\int 3\,dx = 3x + c$ ve $\int (2x + 1)\,dx = x^2 + x + c$ (terim terim)

Kök ve kesirli ifadeler önce üslü yazılır: $\int \sqrt{x}\,dx = \int x^{1/2}\,dx = \frac23 x^{3/2} + c$. $\int \frac{1}{x^2}\,dx = \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} + c = -\frac1x + c$.

Her sonucu türev alarak sınayabilirsiniz. $-\cos x$'in türevi $\sin x$ olduğuna göre $\int \sin x\,dx$ sonucundaki eksi işareti doğrudur. Mini soru: $\int (3x^2 - 4x + 1)\,dx$ nedir?

Sınırlar Girince c Gider

Belirli integral bir sayıdır: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. Sabit iki uçta da bulunduğu için çıkarmada sadeleşir, yazılmaz.

• $\int_0^1 x\,dx = \frac12 - 0 = \frac12$
• $\int_0^2 x^2\,dx = \frac83 - 0 = \frac83$
• $\int_0^1 3x^2\,dx = 1^3 - 0^3 = 1$
• $\int_1^3 2\,dx = 6 - 2 = 4$ (yüksekliği 2, genişliği 2 olan dikdörtgen)
• $\int_0^{\pi} \sin x\,dx = [-\cos x]_0^{\pi} = -(-1) - (-1) = 2$

Özellikler hesabı kısaltır. $\int_a^b f\,dx = 7$ ise sınırlar yer değiştirince $\int_b^a f\,dx = -7$. $\int_2^5 f = 12$ ve $\int_2^5 g = 5$ ise $\int_2^5 (f + g) = 17$.

Atölyeye dönelim: üretim 200'den 400 tişörte çıkarsa maliyet ne kadar artar?

$\int_2^4 (6x + 20)\,dx = [3x^2 + 20x]_2^4 = (48 + 80) - (12 + 40) = 76$ bin TL

Kiranın (50 bin TL) bu hesaba hiç girmediğine dikkat edin: artış sorusunda sabit gider zaten iki durumda da vardır.

Kısaca Alan

Fonksiyon $x$ ekseninin üstündeyse belirli integral grafiğin altındaki alanı verir. Doğru $y = x$ ve $0 \le x \le 4$ için alan $\frac{16}{2} = 8$. Parabol $y = x^2$ ve $0 \le x \le 3$ için alan $\frac{27}{3} = 9$. İki eğri arasında da çalışır: $[0, 1]$'de $y = x$ üstte, $y = x^2$ altta kalır ve aradaki alan $\frac12 - \frac13 = \frac16$ olur. Hızı 6 saniye boyunca 20 m/s olan araç $20 \cdot 6 = 120$ m yol alır; hız-zaman grafiğinin altındaki dikdörtgenin alanı da tam budur. Eksenin altında kalan parçalar ve iki eğri arasındaki alan, belirli integral konusunda ayrıntılı işlenir.

Sık Yapılan Hatalar ve AYT İpucu

Sık yapılan hata 1: $\int \frac1x\,dx$ için kuvvet kuralını kullanmak. $x^{-1}$'in üssünü bir artırınca $\frac{x^0}{0}$ çıkar; sıfıra bölme. Bu durum kuralın dışındadır, sonuç $\ln|x| + c$'dir.

İşaret tuzağı: $\int \sin x\,dx = \cos x + c$ yazmak. Türevini alın: $\cos x$'in türevi $-\sin x$, işaret tutmuyor.

Çarpım yanılgısı: Çarpımın integralini integrallerin çarpımı sanmak. $\int x \cdot x\,dx = \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + c$; oysa $\int x\,dx \cdot \int x\,dx$ yolu $\frac{x^4}{4}$ gibi yanlış bir sonuca götürür.

Unutulan sabit: Belirsiz integralde $+c$'yi unutmak. Şıklarda $+c$ olmayan seçenek çoğu zaman bu yüzden konmuştur.

AYT ipucu: Soruda $f'(x)$ ile birlikte "$f(1) = 4$" gibi bir değer verildiyse istenen şey $c$'dir; integrali alıp o değeri yerine koyun. Şıklı sorularda en hızlı sağlama şıkların türevini almaktır. Mini sorunun cevabı: $x^3 - 2x^2 + x + c$.

Sık sorulanlar