"Çok" Ölçülemez: Soruyu Keskinleştirmek
9-B sınıfı bir iddiayı sınamak istiyor: "Okulumuzda öğrenciler telefona çok zaman harcıyor." Bu cümle bir araştırma sorusu olamaz, çünkü "çok" kişiden kişiye değişir. Soruyu ölçülebilir hâle getirelim:
"Okulumuzdaki 9. sınıf öğrencileri hafta içi bir günde telefon ekranına kaç saat bakıyor?"
Artık kimin (9. sınıflar), neyin (ekran süresi), hangi birimle (saat) ölçüleceği belli. Sürecin geri kalanı bu soruya bağlı: soru → veri toplama → düzenleme → çözümleme → yorum. İlk adım kötü kurulursa sonraki adımlar ne kadar özenli yapılsa da sonuç bir şey söylemez.
Kime Soracağız, Nasıl Soracağız?
Okulda 240 dokuzuncu sınıf öğrencisi var. Araştırmanın hakkında hüküm vermek istediği bu grubun tamamına evren, içinden seçilip gerçekten soru sorulan gruba örneklem denir. Sınıf 40 kişilik bir örneklem seçmeye karar veriyor.
Kimi seçeceği kritik. Anketi yalnız bilişim kulübü üyelerine yapmak kolaydır ama bu grup bilgisayar ve telefonla zaten daha çok vakit geçiriyor olabilir; sonuç okulun tamamını temsil etmez. Buna yanlı örneklem denir. Daha doğru yol, her şubeden kurayla eşit sayıda öğrenci seçmektir; 6 şube varsa her şubeden yaklaşık 7 kişi.
Soru cümlesi de yanlı olabilir. "Telefonun derslerinizi kötü etkilediğini kabul etmiyor musunuz?" sorusu cevabı yönlendirir. Yansız biçimi: "Hafta içi bir günde ekranınızın kullanım süresi kaç saat?" Mümkünse telefonun kendi ekran süresi kaydından okunması istenir; tahmin yerine ölçüm.
Toplanan verinin türü de önemli. Ekran süresi sayıyla ölçüldüğü için nicel; "en çok kullanılan uygulama" ise bir kategori olduğu için nitel veridir. Nitel veride ortalama alınamaz; ancak en çok tekrar edeni söyleyebiliriz.
On Bir Sayıyı Sıraya Dizmek
Anlatımı sade tutmak için 40 cevabın yerine bir şubeden gelen 11 cevabı ele alalım (saat):
$4,\ 2,\ 5,\ 3,\ 14,\ 4,\ 6,\ 3,\ 4,\ 7,\ 5$
Ham listeden hiçbir şey okunmaz. İlk iş sıralamak:
$2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 6,\ 7,\ 14$
- Aritmetik ortalama: toplam $57$, veri sayısı $11$; $\dfrac{57}{11} \approx 5{,}2$ saat.
- Ortanca: 11 verinin tam ortası 6. sıradaki değer: $4$ saat.
- Tepe değer: en sık tekrar eden değer: $4$ (üç kez).
Ortalama neden ötekilerden büyük çıktı? 14 saatlik tek bir cevap yüzünden. O cevabı çıkarırsak kalan 10 verinin ortalaması $\dfrac{43}{10} = 4{,}3$ saate iner, ortanca ise $\dfrac{4 + 4}{2} = 4$ olarak aynen kalır. Veri sayısı çift olduğunda ortanca, ortadaki iki değerin ortalamasıdır.
Sık yapılan hata: Ortancayı sıralamadan, ham listenin ortasındaki sayıyı alarak bulmak. Ham listede 6. sıradaki değer 4 çıktı ama bu tesadüf; 7, 3, 9, 5, 11, 4 verisinde ham ortadaki iki sayı 9 ve 5'tir, sıralayınca (3, 4, 5, 7, 9, 11) ortanca $\dfrac{5 + 7}{2} = 6$ olur.
Veriler Ne Kadar Dağınık?
Merkez tek başına yetmez. Açıklık en büyük ile en küçük değerin farkıdır: $14 - 2 = 12$ saat. Ama açıklık yalnız iki uç değere baktığı için tek bir aykırı cevapla şişer.
Daha sağlam ölçü çeyrekler açıklığıdır. Sıralı verinin ortancası (4) listeyi ikiye böler. Alt yarının (2, 3, 3, 4, 4) ortancası $Q_1 = 3$, üst yarının (5, 5, 6, 7, 14) ortancası $Q_3 = 6$. Çeyrekler açıklığı $Q_3 - Q_1 = 3$ saattir: öğrencilerin ortadaki yarısı 3 ile 6 saat arasında.
Kutu grafiği bu beş sayıyı (en küçük 2, $Q_1 = 3$, ortanca 4, $Q_3 = 6$, en büyük 14) tek çizimde gösterir. Kutu orta yarıyı, bıyıklar uçları gösterir. Sık kullanılan bir kurala göre $Q_3 + 1{,}5 \cdot (Q_3 - Q_1) = 6 + 4{,}5 = 10{,}5$ değerini aşan bir veri aykırı sayılır; 14 saat bu sınırın üstünde kalıyor.
Standart sapma ise her verinin ortalamadan ne kadar uzaklaştığının bir özetidir. Ortalamaları 70 olan iki sınıftan birinin standart sapması 4, öbürününki 15 ise birinci sınıfın notları 70 civarında toplanmış, ikincisinde çok yüksek ve çok düşük notlar birlikte bulunuyor demektir. Bütün verileri aynı olan bir kümede (5, 5, 5, 5, 5) hiçbir veri ortalamadan uzaklaşmadığı için standart sapma 0'dır.
Rapor Yazmadan Önce Son Kontrol
9-B sınıfının raporuna hangi cümleyi yazması doğru olur? "Öğrenciler günde ortalama 5,2 saat telefona bakıyor" cümlesi teknik olarak doğru ama tek bir aykırı cevabın etkisini saklıyor. Daha dürüst olanı: "Tipik bir öğrenci günde 4 saat ekrana bakıyor (ortanca); öğrencilerin yarısı 3 ile 6 saat arasında; 14 saatlik bir cevap ayrıca incelenmeli."
Grafik seçimi de soruya göre yapılır. Uygulama türlerinin paylarını göstermek için daire grafiği, ekran sürelerinin dağılımını göstermek için histogram (0-2, 2-4, 4-6 saat gibi aralıklarla), uç değerleri ve orta yarıyı birlikte görmek için kutu grafiği uygundur.
Ortalamayla ilgili bir ters soru tipi: Beş sınavın ortalaması 78 olan bir öğrenci altıncı sınavdan 90 alırsa yeni ortalama kaç olur? Önce toplamı bulun: $5 \cdot 78 = 390$. Yeni toplam $390 + 90 = 480$, yeni ortalama $\dfrac{480}{6} = 80$.
Sınav ipucu: Soruda uç bir değer (96, 14 gibi) göze batıyorsa cevap büyük ihtimalle "ortanca daha uygundur" yönündedir. "Örneklem" sorularında şıklarda yalnız bir alt gruba (takım, kulüp, kütüphanedekiler) yapılmış anket varsa aranan cevap yanlılıktır.
Sık sorulanlar
Aykırı değer varsa hangi merkez ölçüsü kullanılmalı?
Ortanca. 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 14 verisinde ortalama yaklaşık 5,2 çıkarken ortanca 4'tür ve tipik değeri daha iyi gösterir.
Evren ile örneklem arasındaki fark nedir?
Evren, araştırmanın hüküm vermek istediği grubun tamamıdır; örneklem bu gruptan seçilip gerçekten veri toplanan kısımdır. Örneklem evreni temsil edecek biçimde yansız seçilmelidir.
Çeyrekler açıklığı neyi gösterir?
Sıralı verinin ortadaki yarısının ne kadar geniş bir aralığa yayıldığını gösterir. Q₁ = 24, Q₃ = 41 ise çeyrekler açıklığı 17'dir.
Standart sapmanın 0 olması ne anlama gelir?
Bütün verilerin birbirine eşit olduğunu, hiçbir verinin ortalamadan uzaklaşmadığını gösterir.