11. Sınıf Normal Dağılım ve İlişki Çözümlemesi — Konu Anlatımı

80 mi Daha İyi, 60 mı?

Deniz matematik sınavından 80, fizikten 60 aldı. Hangi derste daha başarılı? Ham puana bakan "matematik" der. Ama sınıfın matematik ortalaması 65, fizik ortalaması 45. Üstelik matematikte puanlar ortalamadan 10 puan kadar sapıyor, fizikte yalnız 6 puan.

Bu bilgiyi tek sayıya indiren ölçü z puanıdır: $z = \dfrac{x - \bar{x}}{s}$.

• Matematik: $z = \dfrac{80 - 65}{10} = 1{,}5$
• Fizik: $z = \dfrac{60 - 45}{6} = 2{,}5$

Deniz fizikte sınıfının 2,5 standart sapma üstünde, matematikte 1,5. Fizik daha büyük başarı. z puanı "ortalamadan kaç standart sapma uzakta?" sorusunun cevabıdır; farklı ölçekleri aynı cetvele taşır.

Standart Sapmayı Elle Hesaplamak

Beş öğrencinin haftalık kitap okuma süresi (saat): 4, 6, 8, 10, 12. Ortalama 8.

Sapmalar $-4, -2, 0, 2, 4$. Bunların ortalamasını alsak? Toplamları 0; her veri kümesinde böyledir, ölçü olarak işe yaramaz. Bu yüzden sapmaların karesi alınır: $16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40$. Varyans $\frac{40}{5} = 8$, standart sapma $s = \sqrt{8} \approx 2{,}83$ saat.

İkinci grup: 7, 8, 8, 8, 9. Ortalama yine 8, ama kareler toplamı $1 + 0 + 0 + 0 + 1 = 2$ ve $s = \sqrt{0{,}4} \approx 0{,}63$. Ortalama aynı, yayılım çok farklı. Standart sapma bu farkı yakalar.

Not: Veriler bir örneklemden geliyorsa bazı kaynaklar $n$ yerine $n - 1$'e böler; sorunun hangisini istediğine bakın.

Un Paketleri ve Çan Eğrisi

Bir fabrikanın 500 g yazan un paketleri tartılıyor: ortalama 500 g, standart sapma 4 g. Ağırlıkların histogramı ortası yüksek, iki yana doğru simetrik alçalan bir çan biçimindedir. Buna normal dağılım denir; ortalama, ortanca ve tepe değer aynı noktadadır.

• Paketlerin yaklaşık %68'i $500 \pm 4$, yani 496-504 g arasında,
• %95'i $500 \pm 8$, yani 492-508 g arasında,
• %99,7'si $500 \pm 12$, yani 488-512 g arasındadır.

1.000 paketten kaçı 508 g'dan ağırdır? %95 aralığın içinde, %5 dışında. Çan simetrik olduğu için bu %5'in yarısı üst uçta: %2,5, yani yaklaşık 25 paket.

Kural yalnız normal dağılımda geçerlidir. Bir ilçedeki hane gelirleri sağa çarpıktır: az sayıda çok yüksek gelir ortalamayı ortancanın üstüne çeker. Böyle veride "%68'i bir standart sapma içinde" demek yanlıştır.

İki Değişken Birlikte: Serpme Diyagramı

Bir büfe kış boyunca günün ortalama sıcaklığını ve sattığı salep bardağını not etmiş:

Her gün bir nokta olur: sıcaklık yatay eksende (açıklayıcı değişken), satış düşey eksende (yanıt değişkeni). Noktalar sağa doğru inen bir doğrultu çiziyor: sıcaklık artarken satış azalıyor. Bu negatif ilişkidir.

İlişkinin gücünü korelasyon katsayısı $r$ ölçer; $-1 \leq r \leq 1$. Bu veride $r \approx -0{,}98$: çok güçlü, negatif. $r = 0{,}95$ güçlü pozitif, $r = 0{,}12$ ise zayıf bir ilişki anlatır. İşaret yönü, mutlak değer gücü söyler.

$r \approx 0$ her zaman "ilişki yok" demek değildir. Bir çay bahçesine hem çok soğukta hem çok sıcakta az müşteri gelir, ılık havada çok. Noktalar ters U çizer; ilişki güçlüdür ama doğrusal olmadığı için $r$ sıfıra yakın çıkar. Önce diyagrama bakmak bu yüzden şarttır.

Eğilim Doğrusu: y = 94 − 3x

Noktalara en iyi uyan doğru (en küçük kareler yöntemiyle) $y = 94 - 3x$ çıkar. Sayıların bağlamdaki anlamı:

• Eğim $-3$: hava 1°C ısındıkça büfe ortalama 3 bardak daha az satar.
• Sabit 94: 0°C'lik bir günde beklenen satış.

10°C'lik bir gün için tahmin $94 - 30 = 64$ bardak. 12°C'de tahmin 58, gerçek 54: doğru 4 bardak fazla tahmin etmiş. Her nokta doğrunun üstünde durmaz; doğru bir eğilimi özetler.

Peki 35°C'lik bir yaz günü? $94 - 105 = -11$ bardak. Negatif satış olmaz. Doğru 0-16°C verisiyle kuruldu; o aralığın dışında ne olduğunu bilmiyoruz. Veri aralığı dışına tahmin güvenilmezdir.

Bir gün kar tatili yüzünden 8°C'de yalnız 10 bardak satılmış olsaydı bu nokta bulutun çok uzağında kalırdı. Böyle bir dış değer $r$'yi düşürür ve doğruyu kendine doğru çeker; silmeden önce nedeni araştırılır.

Güçlü İlişki Neden Kanıt Değildir?

Yangın kayıtlarında gelen itfaiyeci sayısı ile hasar miktarı arasında güçlü pozitif ilişki vardır. İtfaiyeciler hasara mı yol açıyor? Hayır; ikisini de artıran üçüncü bir değişken var: yangının büyüklüğü.

Sık yapılan hata: Öğrenciler $r = 0{,}8$ görünce birinci değişkenin ikincinin nedeni olduğunu sanıyor. Korelasyon birlikte değişmeyi ölçer; neden-sonuç ayrı bir sorudur ve genellikle kontrollü deneyle yanıtlanır.

Örneklem büyüklüğü de önemlidir. 5 kişiyle bulunan $r = 0{,}88$, tek bir kişinin değişmesiyle bambaşka çıkabilir; 500 kişiyle bulunan $r = 0{,}31$ daha zayıftır ama daha sağlamdır.

Sınav ipucu: Eğilim doğrusu sorularında "eğim" birim başına değişim, "sabit terim" açıklayıcı değişken sıfırken beklenen değerdir. "Neden olur", "yol açar" diyen seçenek korelasyon sorusunda neredeyse her zaman yanlıştır.

Sık sorulanlar