8. Sınıf Kareköklü İfadeler — Konu Anlatımı

Karekök Nedir?

$\sqrt{a}$, karesi $a$ olan negatif olmayan sayıdır. $\sqrt{49} = 7$, çünkü $7^2 = 49$. Karekök almak kare almanın tersidir: bir karenin alanı biliniyorsa kenarı karekökle bulunur. Alanı 64 cm² olan karenin kenarı $\sqrt{64} = 8$ cm'dir.

$(-7)^2$ de 49 etse bile $\sqrt{49}$ yalnızca 7'dir; karekök sembolü negatif olmayan değeri gösterir. Kök içi de negatif olamaz: $\sqrt{-9}$ gerçek sayılarda tanımsızdır, çünkü karesi negatif olan bir gerçek sayı yoktur.

Ezberlenmesi gereken tam kareler: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225. Bunları bilmek soru süresini yarıya indirir.

Tam Kare Olmayan Sayının Kökünü Tahmin Etme

50 tam kare değildir ama hangi iki tam kare arasında olduğunu biliriz: $49 < 50 < 64$. Karekök alınca sıralama korunur: $7 < \sqrt{50} < 8$.

50, 49'a 64'ten çok daha yakın olduğu için $\sqrt{50}$ de 7'ye yakındır (yaklaşık 7,07). Aynı düşünceyle $\sqrt{90}$ için $81 < 90 < 100$ olduğundan kök 9 ile 10 arasındadır; 90 iki uca neredeyse eşit uzaklıkta olduğu için değer yaklaşık 9,5'tir.

Kök Dışına Çıkarma ve Kök İçine Alma

Kök içindeki sayı, içindeki en büyük tam kare çarpanla çarpım olarak yazılır; tam kare olan kısım karekökü alınarak dışarı çıkar:

• $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$
• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$
• $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$

Tersine, dışarıdaki sayı karesi alınarak içeri girer: $3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$. Bu işlem, kareköklü sayıları karşılaştırmanın en kolay yoludur. $2\sqrt{7}$ mi $3\sqrt{3}$ mü büyük? $2\sqrt{7} = \sqrt{28}$ ve $3\sqrt{3} = \sqrt{27}$ olduğundan $2\sqrt{7}$ daha büyüktür.

Köklerle Dört İşlem

Toplama ve çıkarma: yalnızca kök içleri aynıysa yapılır; kök dışındaki katsayılar toplanır. $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$. Kök içleri farklı görünüyorsa önce sadeleştir: $\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$. Sadeleştirmeden sonra da farklı kalıyorsa ($\sqrt{2} + \sqrt{3}$ gibi) ifade olduğu gibi bırakılır.

Çarpma: dıştakiler dıştakilerle, içtekiler içtekilerle çarpılır: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6$ ve $2\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{6} = 10\sqrt{18} = 10 \cdot 3\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$.

Bölme: aynı mantıkla kök içleri bölünür: $\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{16} = 4$.

Ondalık Sayıların Karekökü ve Gerçek Sayılar

Ondalık sayıyı önce kesre çevirmek işi kolaylaştırır: $\sqrt{0{,}49} = \sqrt{\dfrac{49}{100}} = \dfrac{7}{10} = 0{,}7$. Benzer şekilde $\sqrt{1{,}44} = 1{,}2$ ve $\sqrt{0{,}0004} = 0{,}02$ olur. Karekök alınınca virgülden sonraki basamak sayısı yarıya iner.

$\sqrt{16} = 4$ ve $\sqrt{\dfrac{4}{9}} = \dfrac{2}{3}$ gibi sonuçlar kesir olarak yazılabildiği için rasyonel sayıdır. $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ ve $\pi$ ise iki tam sayının oranı olarak yazılamaz; ondalık açılımları devirsiz ve sonsuzdur. Bunlara irrasyonel sayı denir. Rasyonel ve irrasyonel sayıların tamamı gerçek sayıları oluşturur.

Çözümlü Örnek 1: Sadeleştirerek Toplama

Soru: $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{75}$ işleminin sonucu kaçtır?

1. Her kökü en büyük tam kare çarpanıyla ayır: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
2. $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ ve $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.
3. Artık kök içleri aynı: $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = 0 \cdot \sqrt{3} = 0$.

Çözümlü Örnek 2: Kare Bahçenin Çevresi

Soru: Alanı 180 m² olan kare şeklindeki bir bahçenin çevresine tel çekilecek. Çevre uzunluğu hangi iki ardışık doğal sayı arasındadır?

1. Kenar $= \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ m.
2. Çevre $= 4 \cdot 6\sqrt{5} = 24\sqrt{5}$ m.
3. Katsayıyı içeri al: $24\sqrt{5} = \sqrt{576 \cdot 5} = \sqrt{2880}$.
4. $53^2 = 2809$ ve $54^2 = 2916$; $2809 < 2880 < 2916$ olduğundan çevre 53 m ile 54 m arasındadır.

Sık Yapılan Hatalar

• Karekökü toplamaya dağıtmak. $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ olur, ama $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$ eder. Karekök yalnızca çarpma ve bölmeye dağılır.
• Farklı kökleri birleştirmek. $\sqrt{2} + \sqrt{3} \neq \sqrt{5}$. Kök içleri yalnızca çarpma ve bölmede birleşir.
• Dışarı çıkarırken kök almayı unutmak. $\sqrt{72} = 36\sqrt{2}$ yazmak yanlıştır; 36'nın karekökü olan 6 dışarı çıkar.
• Ondalıkta basamak hatası. $\sqrt{0{,}4} = 0{,}2$ değildir, çünkü $0{,}2^2 = 0{,}04$ eder. $0{,}4$ tam kare değildir; kökü yaklaşık 0,63'tür.

LGS'de Bu Konu Nasıl Sorulur?

LGS'de kareköklü ifadeler en çok alan ve kenar ilişkisi üzerinden gelir: yan yana dizilmiş kare kartonlar, kare fayanslar, kare bahçeler ve bunların birleşiminden oluşan şekillerin çevresi.

• Sayı doğrusu ve tahmin: $\sqrt{40}$ gibi bir sayının hangi iki tam sayı arasında olduğunu ya da hangisine daha yakın olduğunu bulma.
• Sıralama: $3\sqrt{2}$, $2\sqrt{5}$ ve $\sqrt{19}$ gibi sayıları katsayıları içeri alarak ($\sqrt{18}$, $\sqrt{20}$, $\sqrt{19}$) sıralama.
• Çarpımı doğal sayı yapma: $\sqrt{18} \cdot \sqrt{a}$ çarpımı bir doğal sayı olacaksa en küçük $a$ doğal sayısı 2'dir, çünkü $\sqrt{36} = 6$ olur.
• Rasyonel mi irrasyonel mi: verilen sayılardan hangilerinin rasyonel olduğunu ayırt etme.

İpucu: şekilli sorularda önce her karenin kenarını kök dışına çıkarılmış hâliyle yaz. Kök içleri aynı hâle gelince toplama ve çıkarma kendiliğinden kolaylaşır.

Özet

• $\sqrt{a}$, karesi $a$ olan negatif olmayan sayıdır; kök içi negatif olamaz.
• Tam kare olmayan sayının kökü, iki komşu tam karenin kökleri arasındadır.
• Toplama ve çıkarma için kök içleri aynı olmalıdır; çarpma ve bölmede kök içleri birleşir.
• Karşılaştırmak için katsayılar kök içine alınır.
• Kesir olarak yazılamayan kökler irrasyoneldir; hepsi birlikte gerçek sayıları oluşturur.

Sık sorulanlar