5. Sınıf Kesirlerle İşlemler — Konu Anlatımı

İki Kardeş, Bir Pizza

Bir pizza 8 dilim. Ali 3 dilim, Zeynep 2 dilim yedi. Ne kadarı yendi?

Dilimler aynı büyüklükte olduğu için işiniz kolay: 3 + 2 = 5 dilim.

$\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8}$

Payda değişmedi, çünkü dilimlerin boyu değişmedi; yalnız kaç tane olduğu değişti.

Kural: Paydalar eşitse paylar toplanır, payda aynen yazılır. Payda asla toplanmaz — $\frac{5}{16}$ demek dilimleri küçültmek olurdu ki kimse pizzayı yeniden kesmedi.

Çıkarma da aynı: $\frac{7}{9} - \frac{4}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Paydalar Farklıysa

Şimdi zorlaşsın: bir pizzanın $\frac{1}{2}$'si ile başka bir pizzanın $\frac{1}{4}$'ü.

Dilim boyları farklı; doğrudan sayamazsınız. Önce ikisini aynı boya getirmelisiniz.

$\frac{1}{2}$'yi 4'lük paydaya çevirelim: pay ve paydayı 2 ile çarpın → $\frac{2}{4}$.

$\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Paydaları eşitlemek için genelde EKOK kullanılır — ikisine de bölünen en küçük sayı.

$\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$: EKOK(3,6) = 6 → $\frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Küçük bir soru: $\frac{3}{4} - \frac{1}{8}$ kaçtır?

Cevap: $\frac{6}{8} - \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$.

Doğal Sayı ile Kesri Çarpmak

$3 \times \frac{2}{5}$ ne demek? "$\frac{2}{5}$'ten üç tane" demek:

$\frac{2}{5} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{6}{5}$

Kısayolu: doğal sayı payla çarpılır, payda değişmez.

$3 \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$

Ters yönde de düşünebilirsiniz: "$\frac{2}{5}$'i 3'ün" değil, "3'ün $\frac{2}{5}$'i" sorusu da aynı işlemdir. 15'in $\frac{2}{5}$'i: $15 \times \frac{2}{5} = \frac{30}{5} = 6$.

Bu ikinci okuma problemlerde çok işe yarar: "kaçta kaçı" demek çarpma demektir.

Daha Zor Bir Örnek, Hatalar ve Alıştırma

"Bir kitabın $\frac{1}{3}$'ünü pazartesi, $\frac{1}{4}$'ünü salı okuyan Elif, kitabın ne kadarını okumuştur? Geriye ne kadar kalmıştır?"

1. EKOK(3,4) = 12 → $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$ okundu.
2. Bütün 1'dir, yani $\frac{12}{12}$. Kalan: $\frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$.

İkinci adımdaki fikir önemlidir: bütün her zaman $\frac{n}{n}$ biçiminde yazılabilir ve hangi paydayı seçeceğinizi işlem belirler.

Sınır durum — sonuç 1'den büyük olabilir. $\frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = 1\frac{1}{2}$. Kesir toplamının 1'i geçmesi hata değildir; iki ayrı bütünden alınmışsa gayet olağandır (iki pizzadan üçer çeyrek almak gibi).

Sık yapılan hata 1: Paydaları da toplamak. $\frac{3}{8} + \frac{2}{8}$ sonucu $\frac{5}{16}$ değil $\frac{5}{8}$'dir.

Sık yapılan hata 2: Payda eşitlerken payı genişletmeyi unutmak. $\frac{1}{2}$'yi $\frac{1}{4}$ yapmak yanlış; $\frac{2}{4}$ olmalı.

Sık yapılan hata 3: Doğal sayıyı paydayla çarpmak. $3 \times \frac{2}{5}$ sonucu $\frac{2}{15}$ değil $\frac{6}{5}$'tir.

Sınav ipucu: "Geriye ne kaldı" sorularında bütünü işlemdeki paydayla yazın ($\frac{12}{12}$ gibi); ayrı ayrı çıkarmaya çalışmak gereksiz adım üretir.

Günlük hayatta nerede karşımıza çıkar? Yemek tariflerinde ölçüleri toplamak, bir işin ne kadarının bittiğini söylemek, yakıt deposunun çeyreğini hesaplamak, kumaş ya da tahta keserken parçaları birleştirmek — hepsi kesir toplama ve çıkarmadır. Bir maçın "ilk yarısı ve üçüncü çeyreği" gibi ifadeler de aynı fikirle kurulur.

Şimdi kendiniz deneyin.

1. $\frac{5}{12} + \frac{1}{4}$ kaçtır?
2. $4 \times \frac{3}{7}$ işleminin sonucu nedir?
3. 20'nin $\frac{3}{5}$'i kaçtır?

Cevaplar: (1) $\frac{5}{12} + \frac{3}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$  ·  (2) $\frac{12}{7} = 1\frac{5}{7}$  ·  (3) $20 \times \frac{3}{5} = 12$.

Özet: Paydalar eşitse paylar toplanır, payda değişmez. Farklıysa önce eşitlenir. Doğal sayı payla çarpılır. "Kaçta kaçı" çarpma demektir.

Tam sayılı kesirlerle işlem. $2\frac{1}{4}$ gibi bir kesirle işlem yaparken önce bileşik kesre çevirin: tam kısım paydayla çarpılır, paya eklenir → $\frac{2 \times 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$. Çevirmeden toplamaya kalkışmak tam kısmı unutmanın en kolay yoludur.

Örnek: $1\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$ → $\frac{3}{2} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} + \frac{3}{4} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.

Sonucu tam sayılıya geri çevirmek de aynı mantıkla: pay paydaya bölünür, bölüm tam kısım, kalan pay olur. $9 : 4 = 2$, kalan 1 → $2\frac{1}{4}$.

Sık sorulanlar