İki Kulüp Listesi, Yirmi Sandalye
Okulun satranç kulübünde 14, robotik kulübünde 11 öğrenci var. İki kulüp ortak bir tanıtım toplantısı yapacak ve salonda 20 sandalye bulunuyor. $14 + 11 = 25$ ettiğine göre sandalye yetmez mi?
Listeleri yan yana koyunca 6 öğrencinin iki kulübe de kayıtlı olduğu görülüyor. Bu 6 kişi toplamda iki kez sayıldı. Salona gelecek kişi sayısı:
$14 + 11 - 6 = 19$
Sandalyeler yetiyor, üstelik bir tane boş kalıyor. Kümeler konusunun neredeyse bütün problemleri bu küçük düzeltmenin farklı kılıklarıdır: bir şeyi iki kez saydıysan bir kez çıkar.
Küme Olmak İçin Ne Gerekir?
Küme, elemanları kesin olarak belirlenebilen nesneler topluluğudur. Buna iyi tanımlılık denir. "Sınıfın en sevilen öğretmenleri" bir küme değildir, çünkü kimin listede olduğu kişiye göre değişir. "Sınıfa bu yıl ders veren öğretmenler" ise kümedir.
Bir kümeyi üç yolla yazabiliriz:
- Liste: $A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$
- Ortak özellik: $A = \{x : x \in \mathbb{Z},\ -3 \leq x \leq 3\}$
- Venn şeması: elemanlar kapalı bir eğrinin içine noktalarla yazılır.
Eleman sayısı $s(A)$ ile gösterilir; burada $s(A) = 7$. Küçük bir değişiklik yapalım: $B = \{x : x \in \mathbb{Z},\ -3 \leq x < 4\}$ kümesinde sağdaki eşitsizlik "küçük eşit" değil "küçük" olduğu için 4 dahil değildir ama 3 dahildir. Yine $-3$'ten $3$'e kadar 7 tam sayı: $s(B) = 7$.
Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir, $\emptyset$ ya da $\{\,\}$ yazılır. Peki $\{\emptyset\}$ boş küme midir? Hayır. İçinde bir eleman var, o eleman da boş kümenin kendisi. Bu yüzden $s(\{\emptyset\}) = 1$.
Alt Küme Sayısı Neden 2 Üzeri n?
Bir pizzacıda 4 malzeme var: mantar, zeytin, mısır, biber. Her malzeme için yalnız iki seçenek var: ya koyarsın ya koymazsın. Kaç farklı pizza yapılabilir?
$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4 = 16$
Bu 16 pizzanın her biri, malzeme kümesinin bir alt kümesidir. Hiçbir şey konmamış sade pizza boş kümeye, her şeyin konduğu pizza kümenin kendisine karşılık gelir. Genel kural: $n$ elemanlı bir kümenin $2^n$ alt kümesi vardır.
Kümenin kendisi dışarıda bırakılırsa özalt küme sayısı $2^n - 1$ olur. Ters soru: özalt küme sayısı 31 ise $2^n = 32$, yani $n = 5$.
Belirli sayıda elemanı olan alt kümeler de sayılabilir. $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ kümesinin 2 elemanlı alt kümeleri: $\{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{1,5\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{2,5\}, \{3,4\}, \{3,5\}, \{4,5\}$. Toplam 10 tane. $\{1,2\}$ ile $\{2,1\}$ aynı küme olduğu için ikinci kez yazılmaz.
Sınır durum: boş kümenin kaç alt kümesi var? $2^0 = 1$. Tek alt kümesi kendisidir.
Venn Şemasını İçten Dışa Doldurmak
İki kümeli problemlerde en güvenli yol, şemayı ortadan başlayarak doldurmaktır. Bir örnek üzerinden görelim.
Bir dil kursundaki 60 kursiyerin 35'i İngilizce, 28'i Almanca kursuna kayıtlı; 8 kişi ikisine de kayıtlı değil. Yalnız Almanca kursuna kayıtlı kaç kişi var? İngilizce kümesine $I$, Almanca kümesine $A$ diyelim.
- En az bir kursa kayıtlı olanlar: $s(I \cup A) = 60 - 8 = 52$
- Ortak bölge: $s(I \cap A) = 35 + 28 - 52 = 11$
- Yalnız Almanca: $28 - 11 = 17$ · Yalnız İngilizce: $35 - 11 = 24$
- Kontrol: $24 + 11 + 17 + 8 = 60$ ✓
Dört bölgenin toplamı sınıf mevcudunu vermiyorsa bir yerde hata vardır. Bu son satır sınavda yarım dakikanızı alır ama çok puan kurtarır.
Aynı şemada iki işlem daha okunur. Fark $A \setminus B$, $A$'da olup $B$'de olmayanlardır; yukarıda "yalnız İngilizce" bölgesi. Tümleyen $A'$ ise evrensel kümede olup $A$'da olmayanlardır. $E = \{1, 2, \ldots, 10\}$ ve $A$ çift sayılar kümesiyse $A' = \{1, 3, 5, 7, 9\}$, yani $s(A') = 5$.
Üç Küme: Önce Ortadaki Tek Bölge
Bir yaz kampındaki 50 öğrenciden 23'ü yüzme, 18'i tenis, 15'i okçuluk seçmiş. Yüzme ve tenisi birlikte seçen 7, yüzme ve okçuluğu 5, tenis ve okçuluğu 4 kişi var; 2 kişi üçünü birden seçmiş. Hiçbirini seçmeyen kaç kişi var?
$s(Y \cup T \cup O) = 23 + 18 + 15 - 7 - 5 - 4 + 2 = 42$
Hiçbirini seçmeyen: $50 - 42 = 8$. Neden sonda 2 eklendi? Üçünü birden seçen öğrenci ilk üç terimde 3 kez eklendi, ikili kesişimlerde 3 kez çıkarıldı; hiç sayılmamış hâle geldi. Onu bir kez geri koyuyoruz.
Bölge bölge dolduran için sıra şu: ortaya 2, ikili bölgelere $7 - 2 = 5$, $5 - 2 = 3$ ve $4 - 2 = 2$; ardından yalnız yüzme $23 - 5 - 3 - 2 = 13$, yalnız tenis $18 - 5 - 2 - 2 = 9$, yalnız okçuluk $15 - 3 - 2 - 2 = 8$. Toplam $13 + 9 + 8 + 5 + 3 + 2 + 2 = 42$. İki yol aynı sonucu verdi.
Sık Yapılan Hatalar ve Sınav Dili
Sık yapılan hata 1: $s(A) = 12$, $s(B) = 9$, $s(A \cap B) = 4$ verilince $12 + 9 + 4 = 25$ yazmak. Kesişim zaten iki kez sayılmıştı; eklemek yerine çıkarılır: $12 + 9 - 4 = 17$.
Sık yapılan hata 2: $\in$ ile $\subseteq$ işaretini karıştırmak. $2 \in \{1, 2, 3\}$ doğrudur ama $2 \subseteq \{1, 2, 3\}$ yanlıştır; alt küme işaretinin iki yanında da küme durmalı: $\{2\} \subseteq \{1, 2, 3\}$.
Sık yapılan hata 3: Kesişimi boş olan iki küme için formülü sorgulamak. Ortak eleman yoksa $s(A \cap B) = 0$ ve $s(A \cup B) = s(A) + s(B)$ olur; formül bozulmaz, yalnız son terim sıfırlanır.
Sınav ipucu: Soru kökündeki sözcükler bölgeyi söyler. "Yalnız" tek bir halka parçasını, "en az biri" birleşimi, "hiçbiri" şemanın dışını, "her ikisi" ortayı ister. Kökte "her öğrenci en az birini seçmiştir" yazıyorsa dış bölge sıfırdır; bu bilgi genellikle çözümün anahtarıdır.
Sık sorulanlar
n elemanlı bir kümenin kaç alt kümesi vardır?
2ⁿ tane. Her eleman için "alınır" ya da "alınmaz" diye iki seçenek olduğundan 4 elemanlı kümede 2·2·2·2 = 16 alt küme bulunur; boş küme ve kümenin kendisi de bunlara dahildir.
Özalt küme sayısı 63 olan küme kaç elemanlıdır?
Özalt küme sayısı 2ⁿ − 1 olduğundan 2ⁿ = 64, buradan n = 6 bulunur.
{∅} boş küme midir?
Hayır. İçinde bir eleman vardır ve o eleman boş kümedir; eleman sayısı 1'dir.
Venn şeması sorularında nereden başlamalıyım?
Ortadaki kesişim bölgesinden. Önce en çok kümenin kesiştiği bölgeyi yazın, sonra ikili bölgeleri, en son "yalnız" bölgeleri; bitince bütün bölgelerin toplamını mevcutla karşılaştırın.