Temel Kavramlar
Bir küme, iyi tanımlanmış nesneler topluluğudur. "İyi tanımlanmış" demek, bir nesnenin kümeye ait olup olmadığının kesin biçimde belirlenebilmesidir.
"Sınıftaki uzun boylu öğrenciler" bir küme değildir — "uzun" ölçütü kişiden kişiye değişir. "Boyu 170 cm'den uzun öğrenciler" ise kümedir.
$A = \{1, 2, 3\}$ için $s(A) = 3$. Boş kümenin gösterimi $\emptyset$ ya da $\{\}$'dir; $\{\emptyset\}$ boş küme değildir, bir elemanı olan bir kümedir.
Alt Küme ve Kuvvet Kümesi
$A$ kümesinin her elemanı $B$'de varsa $A \subseteq B$ yazılır.
$n$ elemanlı bir kümenin alt küme sayısı $2^n$'dir.
Özel alt küme sayısı (kendisi hariç): $2^n - 1$
$r$ elemanlı alt küme sayısı: $\binom{n}{r}$
Boş küme her kümenin alt kümesidir; her küme kendisinin alt kümesidir.
İşlemler ve Eleman Sayısı
Birleşim: $A \cup B$ — ikisinden en az birinde olanlar
Kesişim: $A \cap B$ — ikisinde birden olanlar
Fark: $A \setminus B$ — $A$'da olup $B$'de olmayanlar
Temel bağıntı:
$s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)$
Kesişim çıkarılır çünkü iki kez sayılmıştır. Üç küme için:
$s(A \cup B \cup C) = s(A)+s(B)+s(C) - s(A\cap B) - s(A\cap C) - s(B\cap C) + s(A\cap B\cap C)$
Sık Yapılan Hata
Birleşimde kesişimi çıkarmayı unutmak. 20 kişilik sınıfta 12 kişi futbol, 9 kişi basketbol oynuyorsa toplam 21 çıkar — sınıf mevcudundan fazla. Fark, ikisini birden oynayanların iki kez sayılmasıdır.
İkinci hata: $\in$ ile $\subseteq$ karıştırmak. $\in$ eleman ile küme arasında, $\subseteq$ iki küme arasında kullanılır.
Sık sorulanlar
$n$ elemanlı kümenin kaç alt kümesi vardır?
$2^n$ tane. Boş küme ve kümenin kendisi de bu sayıya dahildir.
Birleşimde neden kesişim çıkarılır?
Kesişimdeki elemanlar hem $A$'da hem $B$'de sayıldığı için iki kez toplanır; fazlalık bir kez çıkarılarak giderilir.