12. Sınıf Limit ve Süreklilik — Konu Anlatımı

Köprünün İki Yarısı Ortada Buluşacak mı?

Bir nehrin iki yakasından iki ekip köprü yapıyor. Sol ekibin tabliyesinin yüksekliği $y = 2x + 1$ kuralıyla, sağ ekibinki $y = x + a$ kuralıyla yükseliyor; iki ekip $x = 3$ noktasında buluşacak. Mühendis üç şeyi kontrol eder:

1. Sol ekip $x = 3$'e yaklaşırken hangi yüksekliğe varıyor? $2 \cdot 3 + 1 = 7$
2. Sağ ekip $x = 3$'e yaklaşırken hangi yüksekliğe varıyor? $3 + a$
3. Ortaya konan kilit taşı hangi yükseklikte?

İlk iki soru soldan ve sağdan limittir. İkisi eşit değilse köprünün ortasında bir basamak kalır ve limit yoktur. Eşitlerse ($3 + a = 7$, yani $a = 4$) limit vardır. Üçüncü soru ise süreklilik: kilit taşı da tam o yükseklikte olmalı. Taş eksikse ya da yanlış yere konmuşsa, yarılar buluşsa bile köprüde delik vardır.

Bu konunun bütün soruları bu üç kontrolün matematik diliyle sorulmasıdır.

Limit Neyi Söyler, Neyi Söylemez?

$\lim_{x \to a} f(x) = L$: $x$, $a$'ya yaklaştıkça $f(x)$ değerleri $L$'ye yaklaşır. Limit noktanın kendisine bakmaz; çevresine bakar. Bu yüzden $f(a)$ tanımsız olsa da limit bulunabilir. Varlık koşulu:

$\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$

Üç kısa durum:

• Soldan 3, sağdan 5: tek bir değere yaklaşılmıyor, limit yok.
• Soldan 4, sağdan 4, $f(a) = 6$: limit 4'tür; fonksiyonun değeri başka bir yerde duruyor.
• $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ için $f(1)$ tanımsız, ama limit 2 (aşağıda).

Sınır durum: $f(x) = \frac{|x|}{x}$ fonksiyonu $x > 0$ iken 1, $x < 0$ iken $-1$'dir. Sıfırda soldan $-1$, sağdan 1; limit yoktur. Mutlak değer görünce tek yönlü limitlere bakmak bu yüzden zorunludur.

Önce Yerine Koy, Sonra Düşün

Polinomlar her yerde süreklidir; limitleri doğrudan yerine koyarak bulunur: $\lim_{x \to 2}(3x^2 - x + 1) = 12 - 2 + 1 = 11$.

Limit özellikleri işlemleri parçalamaya izin verir. $\lim f = 4$, $\lim g = 3$ ise $\lim(2f - g) = 8 - 3 = 5$. Bölümde bir şart var: $\lim \frac{f}{g} = \frac{\lim f}{\lim g}$ yalnız $\lim g \neq 0$ iken doğrudur.

Yerine koyunca $\frac{0}{0}$ çıkarsa iş bitmemiştir, yeni başlamıştır. Bu bir belirsizliktir, "tanımsız" demek değildir. İki temel araç var:

Çarpanlara ayırma:

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{3 + 3}{3 - 2} = 6$

Eşlenikle çarpma (köklü ifadede):

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} = \frac{1}{2 + 2} = \frac14$

Biraz daha zoru: $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x + 5} - 3}{x - 4}$. Pay ve paydayı $\sqrt{x + 5} + 3$ ile çarpın; pay $x + 5 - 9 = x - 4$ olur ve sadeleşir. Sonuç $\frac{1}{3 + 3} = \frac16$.

Sonsuzda en büyük dereceler belirler: $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5}{2x^2 - x} = \frac32$; payın derecesi küçükse limit 0, büyükse $\pm\infty$.

Sürekliliğin Üç Kontrolü

$f$ fonksiyonu $x = a$'da süreklidir, ancak ve ancak:

1. $f(a)$ tanımlı (kilit taşı var),
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ var (iki yarı buluşuyor),
3. limit $= f(a)$ (taş doğru yükseklikte).

Polinomlar her gerçek sayıda süreklidir. Rasyonel fonksiyonlar paydanın sıfır olduğu noktalarda süreksizdir: $f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 4}$ fonksiyonu $x = 2$ ve $x = -2$'de süreksiz. Bir su deposunun doluluğunu veren fonksiyon sürekliyse, doluluk bir anda sıçramaz; %40'tan %60'a çıkarken aradaki bütün değerlerden geçer.

Delik kapatma: $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ ($x \neq 2$) ve $f(2) = k$. Sürekli olması için $k$ ne olmalı? Limit $\lim_{x \to 2}(x + 2) = 4$ olduğundan $k = 4$.

İki bağlantı noktası:

$f(x) = \begin{cases} x + a, & x < 1 \\ bx + 1, & 1 \le x < 3 \\ x^2 - 2, & x \ge 3 \end{cases}$

her yerde sürekli olsun. Önce $x = 3$: $3b + 1 = 9 - 2 = 7$, yani $b = 2$. Sonra $x = 1$: $1 + a = b + 1 = 3$, yani $a = 2$. Sıra önemli: bilinmeyeni tek olan bağlantıdan başlayın.

Sık Yapılan Hatalar

Limiti fonksiyon değeriyle karıştırmak. Soldan 4, sağdan 4, $f(a) = 6$ olan fonksiyonda limit 6 sanılır; limit 4'tür, fonksiyon süreksizdir.

$\frac00$ görünce "limit yok" demek. $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}$ örneğinde limit 6 çıktı. $\frac00$ yalnız "daha çalış" demektir.

Limit varsa süreklidir sanmak. Üç koşuldan yalnız biri o. Köprünün iki yarısı buluşsa da kilit taşı yoksa geçemezsiniz.

Parçalı fonksiyonda yanlış parçayı kullanmak. $x \to 3^-$ için "$x < 3$" satırı, $x \to 3^+$ ve $f(3)$ için "$x \ge 3$" satırı kullanılır. Eşitliğin hangi satırda olduğuna bakmadan $f(3)$ yazan öğrenci yanlış değeri alır.

Mini soru: $\lim_{x \to 5} \frac{x - 5}{x^2 - 25}$ kaçtır? Payda $(x - 5)(x + 5)$; sadeleşince $\frac{1}{10}$.

AYT ipucu: "Sürekli olduğuna göre $a$ kaçtır" sorusu her zaman bağlantı noktasında iki parçayı eşitlemektir. "Limiti vardır ama sürekli değildir" ifadesi ise grafikte içi boş bir nokta ya da yerinden kaydırılmış tek bir nokta arayın demektir.

Sık sorulanlar