9. Sınıf Mutlak Değer Fonksiyonu — Konu Anlatımı

Mutlak Değer: Sayı Doğrusunda Uzaklık

Bir sayının mutlak değeri, sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığıdır. Uzaklık negatif olamayacağı için mutlak değer de hiçbir zaman negatif değildir:

$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$    örnek: $|7| = 7$, $|-7| = 7$, $|0| = 0$

$|x - a|$ ifadesi $x$ ile $a$ arasındaki uzaklıktır. Bu yorum, denklem ve eşitsizliklerin neredeyse hepsini tek bakışta çözdürür.

İçerinin işareti bilinirse mutlak değer kalkar. $x < 5$ iken $x - 5$ negatiftir; mutlak değer işaretini değiştirerek çıkar:

$|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$   ($x < 5$ için)

Aynı ifade $x \geq 5$ için olduğu gibi çıkar: $|x - 5| = x - 5$.

Temel Grafik: f(x) = |x|

Noktalar birleştirilince V biçimli bir grafik çıkar. Nitel özellikleri:

• Tepe noktası: $(0, 0)$ — grafiğin kırıldığı nokta.
• Simetri ekseni: $x = 0$ ($y$ ekseni). $f(-3) = f(3)$.
• Görüntü kümesi: $[0, \infty)$; en küçük değer 0, en büyük değer yok.
• Azalan olduğu aralık $(-\infty, 0)$, artan olduğu aralık $(0, \infty)$.
• Kolların eğimi $-1$ ve $+1$’dir.

Genel Biçim: f(x) = a|x − r| + k

Mutlak değer fonksiyonlarının hepsi temel V grafiğinin kaydırılmış, dikleştirilmiş ya da ters çevrilmiş hâlidir. Genel biçimde her harfin bir görevi vardır:

Tepe noktası $(r, k)$’dir; işarete dikkat. $|x - 3| + 2$ için tepe $(3, 2)$; $|x + 3| + 2 = |x - (-3)| + 2$ için tepe $(-3, 2)$.

İçeride katsayı varsa tepe noktasının apsisi, mutlak değerin içini sıfır yapan değerdir. $f(x) = |2x + 6| - 1$ için $2x + 6 = 0 \Rightarrow x = -3$; tepe noktası $(-3, -1)$, simetri ekseni $x = -3$.

Çözümlü örnek 1. $g(x) = -2|x + 1| + 7$ fonksiyonunun en büyük değeri ve görüntü kümesi nedir?

1. $-2|x + 1| \leq 0$ olduğundan $g(x) \leq 7$.
2. Eşitlik $x + 1 = 0$, yani $x = -1$’de sağlanır: en büyük değer $g(-1) = 7$.
3. $a = -2 < 0$, kollar aşağı: görüntü kümesi $(-\infty, 7]$.

Öteleme ve Yansıma

• $y = |x - 4|$: grafik sağa 4 birim kayar ($x$ yerine $x - 4$).
• $y = |x + 2|$: grafik sola 2 birim kayar.
• $y = |x| + 1$: grafik yukarı 1 birim kayar (sonuca ekleme).
• $y = |x| - 5$: grafik aşağı 5 birim kayar.
• $y = -|x|$: grafik $x$ eksenine göre yansır, kollar aşağı döner.
• $y = 3|x|$: tepe aynı yerde kalır, kollar dikleşir.

Yatay kayma "ters" görünür: sağa gitmek için içeriden çıkarılır. Sebebi, tepe noktasının içini sıfır yapan noktada olmasıdır: $x - 4 = 0$ için $x = 4$.

Dikkat: $|-x| = |x|$’tir, yani içerideki eksi grafiği değiştirmez. Yansıma yalnız mutlak değerin önündeki eksiyle olur.

Çözümlü örnek 2. $y = |x|$ grafiği önce sağa 4, sonra yukarı 1 birim ötelenirse yeni fonksiyon ne olur? Sağa 4 → $|x - 4|$; yukarı 1 → $|x - 4| + 1$. Tepe noktası $(4, 1)$.

Artan-Azalan Aralıklar ve Aralıkta En Küçük Değer

Tepe noktası grafiği iki parçaya böler:

• $a > 0$: $(-\infty, r)$ aralığında azalan, $(r, \infty)$ aralığında artan.
• $a < 0$: $(-\infty, r)$ aralığında artan, $(r, \infty)$ aralığında azalan.

Örnek: $f(x) = -|x - 2| + 5$ için $a < 0$, $r = 2$; fonksiyon $(-\infty, 2)$ aralığında artan, $(2, \infty)$ aralığında azalandır.

Kapalı bir aralıkta en küçük-en büyük değer, tepe noktası aralığın içinde mi dışında mı diye bakılarak bulunur.

Çözümlü örnek 3. $d(x) = |x - 6|$ fonksiyonunun $[2, 10]$ ve $[8, 12]$ aralıklarındaki en küçük değerleri nedir?

1. Tepe $x = 6$’da. 6, $[2, 10]$ aralığında → en küçük değer $d(6) = 0$.
2. 6, $[8, 12]$ aralığında değil; aralıkta fonksiyon artan → en küçük değer sol uçta: $d(8) = 2$.
3. $[2, 10]$ aralığında en büyük değer uçlarda: $d(2) = 4$, $d(10) = 4$ → 4.

Eksenleri Kestiği Noktalar

$y$ eksenini kestiği nokta $x = 0$ yazılarak, $x$ eksenini kestiği noktalar $f(x) = 0$ çözülerek bulunur.

Çözümlü örnek 4. $f(x) = |x + 2| - 5$ grafiğinin eksenleri kestiği noktaları ve $x$ ekseniyle oluşturduğu üçgenin alanını bulun.

1. $y$ ekseni: $f(0) = |2| - 5 = -3$ → $(0, -3)$.
2. $x$ ekseni: $|x + 2| = 5 \Rightarrow x + 2 = 5$ ya da $x + 2 = -5$ → $x = 3$ ya da $x = -7$.
3. Tepe noktası $(-2, -5)$. Üçgenin tabanı $3 - (-7) = 10$, yüksekliği $|-5| = 5$.
4. Alan $= \dfrac{10 \cdot 5}{2} = 25$ birimkare.

Denetleme: iki kök tepe noktasına eşit uzaklıkta olmalı. $-2 - (-7) = 5$ ve $3 - (-2) = 5$ ✓ — simetri her zaman ücretsiz bir kontroldür.

Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizlik

$|A| = c$ denklemi üç durumdan biridir:

• $c < 0$ → çözüm yok (uzaklık negatif olamaz). $|x - 2| = -3$ çözümsüzdür.
• $c = 0$ → tek çözüm: $A = 0$.
• $c > 0$ → iki çözüm: $A = c$ ya da $A = -c$.

Örnek: $|2x - 3| = 7 \Rightarrow 2x - 3 = 7$ ($x = 5$) ya da $2x - 3 = -7$ ($x = -2$). Kökler toplamı $3$.

Eşitsizlik:

• $|x - a| \leq c \iff a - c \leq x \leq a + c$ ($a$’ya uzaklığı en çok $c$)
• $|x - a| \geq c \iff x \leq a - c$ ya da $x \geq a + c$

Çözümlü örnek 5 (senaryo). Bir seranın termostatı 21 °C’ye ayarlıdır ve sıcaklığın bu değerden sapması en çok 1,5 °C olabilir. Sıcaklık hangi aralıktadır?

1. Model: $|t - 21| \leq 1{,}5$.
2. $21 - 1{,}5 \leq t \leq 21 + 1{,}5$ → $19{,}5 \leq t \leq 22{,}5$.

Çözümlü örnek 6. $|x - 4| < 3$ eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır? $1 < x < 7$ → 2, 3, 4, 5, 6 → 5 tam sayı. Kesin eşitsizlikte uç noktalar (1 ve 7) sayılmaz.

Grafikten Kural Yazma

Grafik verildiğinde üç bilgi okunur: tepe noktası $(r, k)$, kolların yönü ve grafik üzerindeki bir nokta. Bu nokta $a$’yı verir.

Çözümlü örnek 7. Yukarıdaki grafiğin kuralını yazın.

1. Tepe noktası $(1, -2)$ → $f(x) = a|x - 1| - 2$.
2. Grafik $(3, 2)$’den geçiyor: $a \cdot |3 - 1| - 2 = 2 \Rightarrow 2a = 4 \Rightarrow a = 2$.
3. Kural: $f(x) = 2|x - 1| - 2$.

Denetleme: $(-1, 2)$ noktası da grafikte; $f(-1) = 2 \cdot |-2| - 2 = 2$ ✓. Ayrıca $x = 1$ eksenine göre $(3, 2)$ ile $(-1, 2)$ simetriktir. $a = 2$ olduğu için kollar temel V grafiğinden daha diktir: 1 birim sağa gidince 2 birim yükselir.

Sık Yapılan Hatalar

1. Tepe noktasında işareti karıştırmak. $|x - 3|$ grafiğinin tepesi $x = 3$’tedir, $x = -3$’te değil.
2. $|A| = $ negatif sayı denklemine çözüm aramak. Çözüm kümesi boştur.
3. $-|x|$ ile $|-x|$’i aynı sanmak. İlki yansımadır, ikincisi $|x|$’in kendisidir.
4. $a < 0$ iken görüntü kümesini $[k, \infty)$ yazmak. Kollar aşağıysa $k$ en büyük değerdir: $(-\infty, k]$.
5. $x < 5$ için $|x - 5| = x - 5$ yazmak. İçerisi negatif olduğundan doğrusu $5 - x$’tir.
6. Aralıkta en küçük değeri her zaman $k$ sanmak. Tepe aralık dışındaysa en küçük değer aralığın bir ucundadır.

Özet

• $|x - a|$, $x$ ile $a$ arasındaki uzaklıktır; mutlak değer negatif olamaz.
• $f(x) = a|x - r| + k$: tepe $(r, k)$, simetri ekseni $x = r$.
• $a > 0$ → en küçük değer $k$; $a < 0$ → en büyük değer $k$.
• İçeriden çıkarma sağa, ekleme sola; dışarıdan ekleme yukarı öteler; öndeki eksi yansıtır.
• $|A| = c$: $c > 0$ ise iki, $c = 0$ ise bir çözüm, $c < 0$ ise çözüm yok.
• $|x - a| \leq c$ → $[a - c, a + c]$ aralığı.
• Grafikten kural: tepe + bir nokta → $a$.

Sık sorulanlar