Hangi Salon Daha Ucuz?
İki spor salonu var. A salonu 400 TL kayıt ücreti ve ayda 250 TL istiyor. B salonunda kayıt ücreti yok, aylık ücret 350 TL. Hangisi daha ucuz?
Cevap "kaç ay gideceğine bağlı". $x$ ay için toplam ödeme A'da $400 + 250x$, B'de $350x$. İki ödemenin eşit olduğu ay bir denklemle bulunur:
$400 + 250x = 350x \Rightarrow 400 = 100x \Rightarrow x = 4$
B'nin daha ucuz olduğu aylar ise bir eşitsizlikle:
$350x < 400 + 250x \Rightarrow 100x < 400 \Rightarrow x < 4$
4 aydan kısa gidecekseniz B, uzun gidecekseniz A kazançlı; tam 4 ayda ikisi de 1.400 TL. Bu konunun üç parçası (denklem, eşitsizlik, oran) tek bir soruda bir araya geldi.
Denklem: İki Kefeye Aynı Şeyi Yapmak
Denklem bir teraziye benzer. İki tarafa aynı sayıyı eklemek, çıkarmak ya da iki tarafı sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpmak dengeyi bozmaz.
Kesirli bir örnek: $\dfrac{x - 1}{3} + \dfrac{x}{2} = 4$. Paydaların EKOK'u 6; iki tarafı 6 ile çarpalım:
$2(x - 1) + 3x = 24 \Rightarrow 5x - 2 = 24 \Rightarrow x = \dfrac{26}{5} = 5{,}2$
Kontrol: $\dfrac{4{,}2}{3} = 1{,}4$ ve $\dfrac{5{,}2}{2} = 2{,}6$; toplam $4$ ✓
Her denklemin tek çözümü olmak zorunda değil. $2(x + 3) = 2x + 6$ denkleminde iki taraf aynı ifade; her $x$ çözümdür. $2x + 1 = 2x + 5$ denkleminde ise $1 = 5$ gibi yanlış bir eşitliğe varılır; çözüm yoktur. Sınavda "çözüm kümesi" sorulduğunda bu iki durum şıklarda $\mathbb{R}$ ve $\emptyset$ olarak görünür.
Eşitsizlikte Yönü Çeviren Tek Hamle
Eşitsizlikte de terazi kuralları geçerli, bir istisnayla: iki taraf negatif bir sayıyla çarpılır ya da bölünürse yön döner. Neden? $2 < 5$ doğru; iki tarafı $-1$ ile çarpınca $-2$ ve $-5$ elde edilir ve sayı doğrusunda $-2$ sağda kaldığı için $-2 > -5$ olur.
$-2x > 6 \Rightarrow x < -3$
Çift taraflı bir eşitsizlik: $-1 < 2x + 3 \leq 9$. Üç tarafa aynı işlemi uygularız:
$-4 < 2x \leq 6 \Rightarrow -2 < x \leq 3$
Bu aralıktaki tam sayılar $-1, 0, 1, 2, 3$: beş tane. $-2$ dahil değil, 3 dahil.
Sık yapılan hata: $-2x > 6$ işleminde $x > -3$ yazmak. Deneyerek yakalayabilirsiniz: $x = 0$ bu sonuca uyar ama ilk eşitsizlikte $0 > 6$ verir; demek ki yön çevrilmemiş.
Oran Sabitse Doğru, Çarpım Sabitse Ters
3 kg elma 105 TL ise 5 kg kaç TL? Kilogram fiyatı $\frac{105}{3} = 35$ TL sabit; 5 kg $5 \cdot 35 = 175$ TL. Bölüm sabit kalıyorsa doğru orantı vardır.
4 işçi bir duvarı 6 günde örüyorsa 8 işçi kaç günde örer? İşçi iki katına çıkınca süre yarıya iner: $4 \cdot 6 = 8 \cdot t \Rightarrow t = 3$ gün. Çarpım sabitse ters orantı vardır.
Burada öğrencilerin çoğu şu yanılgıya düşer: "Biri artarken öbürü de artıyorsa doğru orantıdır." Taksi örneğine bakın: açılış 50 TL, kilometresi 20 TL. 1 km 70 TL, 2 km 90 TL tutar. Mesafe iki katına çıktı ama ücret iki katına çıkmadı, çünkü $\frac{70}{1} \neq \frac{90}{2}$. İlişki artan ama orantılı değil; sabit bir başlangıç ücreti var.
Değişim Oranı: Grafikteki Adı Eğim
Bir bisiklet kiralama noktasının ücret tablosu: 1 saat 90 TL, 2 saat 150 TL, 3 saat 210 TL. Her ek saat ücrete 60 TL ekliyor. Bu sabit artış miktarına değişim oranı denir; doğrusal grafikte adı eğimdir. Kural: $f(x) = 60x + 30$. Sıfır saatte ödenecek 30 TL, taksideki açılış ücretinin karşılığıdır.
İki noktadan eğim: $A(1, 2)$ ve $B(5, 10)$ için $m = \dfrac{10 - 2}{5 - 1} = 2$.
Denklem ve eşitsizlik de grafikte okunur. $f(x) = 2x - 6$ fonksiyonunun sıfırı $2x - 6 = 0$ denkleminin kökü, yani $x = 3$'tür. $x < 3$ için $f(x)$ negatif, $x > 3$ için pozitiftir; $2x - 6 > 0$ eşitsizliğinin çözümü grafiğin $x$ ekseninin üstünde kaldığı bölgedir. Salon örneğine dönersek: $y = 400 + 250x$ ve $y = 350x$ doğruları $x = 4$'te kesişir. İki doğrunun kesişim noktası iki denklemin ortak çözümüdür; $y = 2x + 1$ ile $y = -x + 7$ için $3x = 6$, yani $x = 2$.
Mesafe de bir fark olarak yazılabilir: $|x - 2| = 5$ "2'ye uzaklığı 5 olan sayılar" demektir, yani $x = 7$ ya da $x = -3$. $|x - 2| < 5$ ise $-3 < x < 7$ aralığıdır.
Sınav ipucu: Tablo verilip "kural" soruluyorsa önce ardışık değerler arasındaki farka bakın; fark sabitse ilişki doğrusaldır ve o fark eğimdir. Kökte "en az kaç ay/gün" geçiyorsa eşitsizlik kurun ve sonucu tam sayıya yuvarlarken yönü kontrol edin.
Sık sorulanlar
Eşitsizliğin yönü ne zaman değişir?
İki taraf negatif bir sayıyla çarpıldığında ya da bölündüğünde. −2x > 6 eşitsizliği x < −3 verir.
Artan her ilişki doğru orantı mıdır?
Hayır. Doğru orantıda iki niceliğin bölümü sabittir. Açılış ücreti olan taksi tarifesinde ücret mesafeyle artar ama bölüm sabit kalmaz.
Bir denklemin çözümü olmayabilir mi?
Evet. 2x + 1 = 2x + 5 denklemi 1 = 5 gibi yanlış bir eşitliğe varır; çözüm kümesi boş kümedir.
Tablodan doğrusal kural nasıl bulunur?
Ardışık değerler arasındaki sabit fark eğimdir. 1 saat 90 TL, 2 saat 150 TL ise fark 60; kural 60x + b olur ve x = 1 yazılınca b = 30 bulunur.