11. Sınıf Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar — Konu Anlatımı

5 ile 7 Arasındaki Fark Neden 2 Değil?

Bir haberde şu cümle geçiyor: "Geçen ayki deprem 5 büyüklüğündeydi, dünkü 7." Aradaki fark 2 birim. Peki sarsıntı iki kat mı güçlüydü?

Hayır. Sismografın kaydettiği dalga genliği her 1 birimde 10 katına çıkar. 5'ten 7'ye çıkmak genliğin $10^2 = 100$ katına çıkması demektir. Açığa çıkan enerji ise her birimde yaklaşık 32 kat artar; 2 birimde yaklaşık $32 \cdot 32 \approx 1.000$ kat.

Ölçek neden böyle kurulmuş? Hafif bir sarsıntı ile yıkıcı bir deprem arasında genlik milyonlarca kat değişir. Bu farkı 1'den 9'a uzanan bir cetvele sığdırmanın yolu, sayının kendisini değil, 10'un kaçıncı kuvveti olduğunu yazmaktır. "Kaçıncı kuvvet?" sorusunun matematikteki adı logaritmadır. Ona gelmeden önce kuvvetin kendisine, yani üstel fonksiyona bakalım.

Üstel Fonksiyon: Değişken Üste Çıkınca

$f(x) = a^x$ biçimindeki fonksiyona üstel fonksiyon denir; taban için $a > 0$ ve $a \neq 1$ şartı vardır. Neden? $a = 1$ olsaydı her $x$ için sonuç 1 çıkar, fonksiyon sabit olurdu. $a = -4$ olsaydı $(-4)^{1/2}$ gerçek sayı olmazdı.

Tablodan üç özellik okunur. Grafik her tabanda $(0, 1)$ noktasından geçer, çünkü $a^0 = 1$. Taban 1'den büyükse fonksiyon artandır; $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ gibi 0 ile 1 arasındaki tabanda azalandır. Üçüncüsü ilk bakışta gözden kaçar: $2^x = 0$ yapan bir $x$ var mı? $x$ küçüldükçe değer küçülür, $2^{-10} = \frac{1}{1024}$ olur, ama hiçbir zaman 0'a ya da negatife inmez. Değer kümesi $(0, \infty)$'dur ve $x$ ekseni yatay asimptottur.

Gerçek bir model: yeni bir uygulamanın 5.000 kullanıcısı var ve sayı her ay %20 artıyor. $t$ ay sonraki kullanıcı sayısı $N(t) = 5000 \cdot 1{,}2^{t}$. Üç ay sonra $5000 \cdot 1{,}728 = 8.640$ kişi. Artış her ay aynı miktar değil, aynı oran; üstel büyümenin işareti budur.

Logaritma: Üssü Soran Soru

$\log_a b = c$ yazmak, "$a$'yı kaçıncı kuvvete yükseltirsem $b$ olur?" sorusunun cevabının $c$ olduğunu söylemektir: $\log_a b = c \iff a^c = b$.

• $\log_2 16 = 4$, çünkü $2^4 = 16$.
• $\log 1000 = 3$ (taban yazılmazsa 10'dur).
• $\log 0{,}01 = -2$, çünkü $10^{-2} = 0{,}01$.

$\log_2(-8)$ kaçtır? 2'nin hangi kuvveti $-8$ eder? Hiçbiri; üstel fonksiyonun negatif değer almadığını az önce gördük. Bu yüzden logaritmanın içi her zaman pozitiftir: üstel fonksiyonun değer kümesi, logaritmanın tanım kümesi olur. Tanım koşulları $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$.

İki fonksiyon birbirinin tersidir; $y = 2^x$ ile $y = \log_2 x$ grafikleri $y = x$ doğrusuna göre simetriktir. Üstelin $(0, 1)$ noktası logaritmada $(1, 0)$ olur: her tabanda $\log_a 1 = 0$. Tabanı $e \approx 2{,}718$ olan logaritmaya doğal logaritma denir, $\ln x$ diye yazılır.

Kurallar Üs Kurallarından Gelir

$2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ işleminde üsler toplanır. Aynı şeyi logaritmayla söyleyelim: $\log_2(8 \cdot 16) = 3 + 4 = 7$. Çarpım toplamaya dönüştü. Kuralların hepsi buradan çıkar:

$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$  ·  $\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$  ·  $\log_a x^n = n \log_a x$

$\log 2 \approx 0{,}301$ biliniyorsa $\log 8 = 3 \cdot 0{,}301 = 0{,}903$ ve $\log 5 = \log \frac{10}{2} = 1 - 0{,}301 = 0{,}699$ olur. Hesap makinesinin bulunmadığı dönemde mühendisler çarpma işlemini tam bu yolla, logaritma tablosundan toplama yaparak yapıyordu.

Taban değiştirme: $\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}$. Örneğin $\log_8 32 = \dfrac{\log_2 32}{\log_2 8} = \dfrac{5}{3}$.

Denklem Çözmek, Sonra Kökü Sınamak

Tabanlar eşitlenebiliyorsa: $3^{x+1} = 81 = 3^4$ ise $x + 1 = 4$, $x = 3$.

Eşitlenemiyorsa logaritma alınır. Uygulama kaç ayda 10.000 kullanıcıya ulaşır? $5000 \cdot 1{,}2^t = 10000$ ise $1{,}2^t = 2$ ve

$t = \dfrac{\log 2}{\log 1{,}2} \approx \dfrac{0{,}301}{0{,}079} \approx 3{,}8$ ay.

Logaritmalı denklem: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$. Çarpım kuralıyla $\log_2[x(x-2)] = 3$, yani $x^2 - 2x = 8$. Buradan $(x - 4)(x + 2) = 0$ çıkar: $x = 4$ ya da $x = -2$. Durun; $x = -2$ konursa $\log_2(-2)$ yazılır ve bu tanımsızdır. Bu yüzden $-2$ yabancı köktür, çözüm kümesi $\{4\}$'tür. Sağlama: $\log_2 4 + \log_2 2 = 2 + 1 = 3$.

Sık Yapılan Hata: Toplamı Parçalamak

Öğrenciler $\log(x + y)$ ifadesini $\log x + \log y$ diye açabileceğini sanıyor. Sayıyla deneyin: $\log(2 + 8) = \log 10 = 1$, oysa $\log 2 + \log 8 = \log 16 \approx 1{,}204$. Kural çarpımın logaritması içindir; toplamın logaritmasının kısaltması yoktur.

İkinci karışıklık üsle ilgili: $\log_2 8^2 = 2 \cdot 3 = 6$ iken $(\log_2 8)^2 = 3^2 = 9$. Üs logaritmanın içindeyse öne iner; logaritmanın dışındaysa inmez.

Tekrar Eden Nicelikler: Testteki Trigonometrik Fonksiyonlar

Üstel model ya hep büyür ya hep küçülür; bir kez geçtiği değere geri dönmez. Oysa bir limandaki su seviyesi günde iki kez yükselip alçalır. Bu tür tekrar eden nicelikleri periyodik fonksiyonlar anlatır ve bu konunun testleri bu ikinci aileyi soruyor.

• Radyan: $180^\circ = \pi$. Buradan $60^\circ = \frac{\pi}{3}$ ve $\frac{7\pi}{6} = 210^\circ$.
• Esas ölçü: $360^\circ$'nin katları atılır: $1110^\circ - 3 \cdot 360^\circ = 30^\circ$. $400^\circ$ bir tam turdan sonra $40^\circ$'ye denk gelir; birim çemberde gösterilebilir.
• Değer aralığı: $-1 \leq \sin x \leq 1$. Bu yüzden $h(t) = 1{,}5 \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) + 4$ gelgit modelinde su en çok $4 + 1{,}5 = 5{,}5$ m, en az $2{,}5$ m olur.
• Periyot: $\sin(kx)$ ve $\cos(kx)$ için $\frac{2\pi}{k}$; aynı modelde $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ saat. $\tan x$'in periyodu $\pi$'dir.
• $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, çünkü II. bölgede sinüs pozitiftir.

Sınav ipucu: Soruda "her yıl %…", "her saatte iki katına" geçiyorsa model üsteldir ve bilinmeyen üsteyse logaritma alınır. "Belirli aralıklarla tekrar eder" geçiyorsa model periyodiktir; önce en büyük-en küçük değeri, sonra periyodu bulun.

Sık sorulanlar