Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar — Konu Anlatımı

Üstel Fonksiyon

$f(x) = a^x$ ($a > 0$, $a \neq 1$)

$a > 1$ ise fonksiyon artan, $0 < a < 1$ ise azalandır.

Grafiği her zaman $(0, 1)$ noktasından geçer çünkü $a^0 = 1$.

Değer kümesi $(0, \infty)$'dur: üstel fonksiyon hiçbir zaman sıfır ya da negatif olmaz. $x$ ekseni yatay asimptottur.

Logaritma Tanımı

$\log_a b = c \iff a^c = b$

Logaritma, üstel fonksiyonun ters fonksiyonudur.

Tanım koşulları: $a > 0$, $a \neq 1$ ve $b > 0$.

$\log$ tabanı 10, $\ln$ tabanı $e$ olan logaritmadır.

$\log_a 1 = 0$  ·  $\log_a a = 1$

Logaritma Kuralları

$\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$
$\log_a\dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$
$\log_a x^n = n \log_a x$
$\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}$ (taban değiştirme)

Logaritma, çarpmayı toplamaya çevirdiği için deprem (Richter), ses şiddeti (desibel) ve pH gibi çok geniş aralıklı ölçeklerde kullanılır.

Sık Yapılan Hata

Toplamın logaritmasını logaritmaların toplamı sanmak:

✗ $\log(x + y) = \log x + \log y$
✓ $\log(x \cdot y) = \log x + \log y$

İkinci hata: tanım kümesini denetlememek. Logaritmanın içi her zaman pozitif olmalıdır; bulunan kökler bu koşulla sınanmazsa yabancı kök kabul edilir.

Sık sorulanlar