Üstel ve Logaritmik Denklemler — Konu Anlatımı

Üstel Denklemler

Tabanlar eşitlenerek çözülür:

$2^{x+1} = 8 \Rightarrow 2^{x+1} = 2^3 \Rightarrow x = 2$

Tabanlar eşitlenemiyorsa iki tarafın logaritması alınır.

Değişken değiştirme sık kullanılır: $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0$ denkleminde $2^x = t$ konularak ikinci dereceden denkleme indirgenir. Bulunan $t$ değerleri pozitif olmalıdır.

Logaritmik Denklemler

Logaritma kuralları uygulanarak tek logaritma hâline getirilir, sonra tanım gereği çözülür.

$\log_2 x + \log_2 (x-2) = 3$
$\log_2 [x(x-2)] = 3 \Rightarrow x^2 - 2x = 8$
$x = 4$ ya da $x = -2$

$x = -2$ kabul edilemez; logaritmanın içi pozitif olmalıdır. Bulunan her kök tanım kümesinde sınanır.

Üstel ve Logaritmik Modeller

Üstel büyüme: $A(t) = A_0 e^{kt}$ — nüfus artışı, bileşik faiz, bakteri çoğalması.

Üstel azalma: $k < 0$ — radyoaktif bozunma, ilacın vücuttan atılması.

Yarılanma süresi: miktarın yarıya inmesi için geçen süre; her yarılanmada kalan miktar ikiye bölünür.

Üstel büyümenin özelliği, artışın sabit oranda değil sabit çarpanla olmasıdır — bu yüzden başlangıçta yavaş, sonra çok hızlı görünür.

Sık Yapılan Hata

Logaritmik denklemde bulunan kökleri tanım kümesinde sınamamak. Logaritmanın içi pozitif olmalıdır; bu koşulu sağlamayan kök çözüm değildir.

İkinci hata: değişken değiştirmede $t > 0$ koşulunu atlamak — $2^x$ hiçbir zaman negatif olamaz.

Sık sorulanlar