12. Sınıf Üstel ve Logaritmik Denklemler — Konu Anlatımı

Bir Fincan Kahvenin Denklemi

Bir fincan filtre kahvede yaklaşık 200 mg kafein olduğunu, kafeinin vücutta yarılanma süresinin de ortalama 5 saat olduğunu varsayalım. Her 5 saatte kalan miktar yarıya iner. $t$ saat sonra vücutta kalan kafein:

$m(t) = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5}$

Soru şu: kafein kaç saat sonra 25 mg'a düşer? Bilinmeyen üstte duruyor; işte bu tür denkleme üstel denklem diyoruz.

$200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5} = 25 \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5} = \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$

Tabanlar aynı olduğuna göre üsler de eşit: $\frac{t}{5} = 3$, yani $t = 15$ saat.

Peki soru 25 mg yerine 30 mg deseydi? $\frac{30}{200} = 0{,}15$ sayısı $\frac{1}{2}$'nin tam kuvveti değil. Bu durumda tabanı eşitleyemeyiz; iki tarafın logaritmasını almamız gerekir. Konunun bütün yöntemleri bu iki soruda saklı.

Tabanı Eşitlemek: En Kısa Yol

Tabanı 1'den farklı pozitif bir sayı için $a^m = a^n$ ise $m = n$'dir. İlk iş, iki tarafı aynı tabana yazmaktır.

$9^{x-1} = 27^{x}$ denkleminde iki taban da 3'ün kuvveti:

$3^{2(x-1)} = 3^{3x} \Rightarrow 2x - 2 = 3x \Rightarrow x = -2$

Kontrol: $9^{-3} = 3^{-6}$ ve $27^{-2} = 3^{-6}$. Doğru.

Negatif bir kök gördünüz diye şüphelenmeyin. Üstel ifadede üs negatif olabilir; olamayan şey, pozitif tabanlı üstel ifadenin değerinin negatif ya da sıfır olmasıdır. $2^{x} = -4$ denkleminin hiç çözümü yoktur.

Taban Eşitlenmiyorsa Logaritma Al

$3^{x} = 20$ denklemini düşünün. 20, 3'ün tam kuvveti değil; ama $3^2 = 9$ ile $3^3 = 27$ arasında olduğu için kökün 2 ile 3 arasında olacağını baştan biliyoruz.

Tanım gereği $x = \log_3 20$. Hesap makinesiyle: $x = \dfrac{\ln 20}{\ln 3} \approx \dfrac{2{,}996}{1{,}099} \approx 2{,}73$

Kafein sorusuna dönelim: $\left(\frac{1}{2}\right)^{t/5} = 0{,}15$

$\dfrac{t}{5} = \log_{1/2} 0{,}15 = \dfrac{\log 0{,}15}{\log 0{,}5} \approx \dfrac{-0{,}824}{-0{,}301} \approx 2{,}74 \Rightarrow t \approx 13{,}7$ saat

Tahmin kontrolü de yapalım: 30 mg, 25 mg'dan biraz fazla; 15 saatten biraz önce ulaşılması gerekir. 13,7 saat mantıklı.

Kılık Değiştirmiş İkinci Derece Denklem

$4^{x} - 2^{x} - 12 = 0$ denkleminde $4^{x} = (2^{x})^2$ olduğunu fark edin. $2^{x} = t$ dersek:

$t^2 - t - 12 = 0 \Rightarrow (t - 4)(t + 3) = 0 \Rightarrow t = 4$ ya da $t = -3$

Burada durun. $t = 2^{x}$ olduğuna göre $t$ negatif olabilir mi? Olamaz. $t = -3$ elenir; $2^{x} = 4$ kalır ve $x = 2$ tek çözümdür.

Aynı yöntem $4^{x} - 3 \cdot 2^{x} + 2 = 0$ için $t = 1$ ve $t = 2$ verir; ikisi de pozitif olduğundan iki çözüm vardır: $x = 0$ ve $x = 1$.

Logaritmik Denklemde Kök Elemek

$\log_2 x + \log_2 (x - 2) = 3$

Toplamı çarpıma çevirin: $\log_2 [x(x - 2)] = 3 \Rightarrow x^2 - 2x = 8 \Rightarrow x = 4$ ya da $x = -2$

Denklemin ilk hâline dönüp bakın: $\log_2 x$ yazabilmek için $x > 0$, $\log_2(x - 2)$ için $x > 2$ olmalı. $x = -2$ bu koşulu sağlamaz; çözüm yalnız $x = 4$.

Sınır durum: $\log_3 (x^2) = 2$ ile $2\log_3 x = 2$ aynı denklem mi? İlkinde $x^2 = 9$ olur ve $x = 3$, $x = -3$ ikisi de geçerlidir, çünkü $(-3)^2$ pozitiftir. İkincisinde $\log_3 x$ yazıldığı an $x > 0$ şartı gelir ve yalnız $x = 3$ kalır. $\log(x^2) = 2\log x$ kuralı yalnız $x > 0$ iken doğrudur.

Sık yapılan hata: Kökleri sadeleştirilmiş denklemde sınamak. $x(x-2) = 8$ denkleminde $x = -2$ yerine konunca $(-2)(-4) = 8$ tutar ve kök doğru sanılır. Sınama her zaman logaritmaların yazıldığı ilk denklemde yapılır.

Eşitsizlikte Yön Ne Zaman Döner?

Taban 1'den büyükse üstel ve logaritmik fonksiyon artandır; eşitsizliğin yönü korunur. Taban 0 ile 1 arasındaysa fonksiyon azalandır; yön ters döner.

$\left(\frac{1}{3}\right)^{x} > 9 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \Rightarrow x < -2$

Aynı soruyu 3 tabanında yazarak kontrol edin: $3^{-x} > 3^{2} \Rightarrow -x > 2 \Rightarrow x < -2$. İki yol aynı yere çıkıyor.

Logaritmik eşitsizlikte bir adım daha var: tanım kümesi.

$\log_{1/2} (x - 1) > -2$

Önce $x - 1 > 0$, yani $x > 1$. Sonra $-2 = \log_{1/2} 4$ olduğundan taban 1'den küçük diye yön döner: $x - 1 < 4 \Rightarrow x < 5$. İkisini birleştirince çözüm $1 < x < 5$.

Yalnız $x < 5$ yazan öğrenci, $x = 0$ gibi logaritmayı tanımsız yapan değerleri de çözüme katmış olur.

Para Ne Zaman İkiye Katlanır?

10.000 TL, yıllık %20 bileşik faizle bankada duruyor. $n$ yıl sonunda para $10\,000 \cdot 1{,}2^{n}$ olur. İkiye katlanma şartı: $1{,}2^{n} = 2$

$n = \dfrac{\log 2}{\log 1{,}2} \approx \dfrac{0{,}301}{0{,}079} \approx 3{,}8$

Faiz yılda bir işliyorsa para 3. yılın sonunda henüz katlanmamıştır ($1{,}2^{3} = 1{,}728$), 4. yılın sonunda katlanmıştır ($1{,}2^{4} \approx 2{,}07$). Soru "en az kaç yıl" diyorsa cevap 4'tür, 3,8 değil.

Kafein örneğiyle karşılaştırın: orada çarpan $\frac{1}{2}$ (azalma), burada $1{,}2$ (büyüme). Denklemin kuruluşu aynı, yalnız çarpanın 1'den büyük ya da küçük olması değişiyor.

Sınav ipucu: Soruda "logaritmik denklemin çözüm kümesi" geçiyorsa şıklarda mutlaka negatif ya da tanımsızlık doğuran bir kök bulunur; elemeyi unutan öğrenci için konmuştur. "Eşitsizlik" ve "$0 < a < 1$" birlikte görülüyorsa ilk bakılacak yer yön değişimidir.

Sık sorulanlar