10. Sınıf Polinomlar ve İkinci Dereceden Denklemler — Konu Anlatımı

Paspartu Kaç Santim Olmalı?

20 cm × 30 cm boyutunda bir fotoğrafı çerçeveletiyorsunuz. Fotoğrafın dört yanına eşit genişlikte beyaz paspartu konacak ve çerçevenin içi toplam 1.200 cm² olacak. Paspartunun genişliği kaç santimdir?

Genişliğe $x$ diyelim. Her kenar iki yandan $x$ kadar uzar:

$(20 + 2x)(30 + 2x) = 1200$

Çarpımı açınca $600 + 40x + 60x + 4x^2 = 1200$, düzenleyince:

$4x^2 + 100x - 600 = 0 \Rightarrow x^2 + 25x - 150 = 0$

Çarpımı $-150$, toplamı $25$ olan iki sayı arıyoruz: 30 ve $-5$.

$(x + 30)(x - 5) = 0 \Rightarrow x = 5$ ya da $x = -30$

Genişlik negatif olamaz; paspartu 5 cm'dir. Kontrol: $30 \cdot 40 = 1200$. Bu tek soruda konunun üç parçası var: polinom, çarpanlara ayırma ve ikinci dereceden denklem.

Hangi İfade Polinomdur?

$4x^2 + 100x - 600$ bir polinomdur: $x$'in yalnız doğal sayı üsleri katsayılarla çarpılıp toplanmış. Üste negatif sayı, kesir ya da değişken gelirse ifade polinom olmaktan çıkar.

• $x^2 + 3\sqrt{x}$ polinom değildir, çünkü $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
• $\dfrac{3}{x} + 2$ polinom değildir, çünkü $\dfrac{3}{x} = 3x^{-1}$.
• $\sqrt{2}\,x^2 + 1$ polinomdur. Kök katsayıda duruyor, üste değil; katsayı herhangi bir gerçek sayı olabilir.

Derece en büyük üstür. $P(x) = 2x^3 - x + 5$ için derece 3, sabit terim $P(0) = 5$, katsayılar toplamı $P(1) = 2 - 1 + 5 = 6$'dır. $P(x) = 7$ gibi sabit bir polinomun derecesi 0'dır.

Çarpanlara Ayırırken Kök Kaybetmek

Paspartu sorusunda yaptığımız şey, "çarpımı $c$, toplamı $b$" olan iki sayıyı bulmaktı. $x^2 - 7x + 12$ için çarpımı 12, toplamı $-7$ olan sayılar $-3$ ve $-4$'tür: $(x - 3)(x - 4)$. Özdeşlikler de işe yarar: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

Sık yapılan hata: $x^2 = 4x$ denkleminde iki tarafı $x$'e bölüp "$x = 4$" demek. Bölme, $x = 0$ ihtimalini sessizce siler; sıfıra bölme tanımsızdır. Doğrusu her şeyi bir tarafa toplamaktır:

$x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0$ ya da $x = 4$

$x = 0$ yerine konunca $0 = 0$ tutar. Çözüm kümesi $\{0, 4\}$'tür; yalnız $\{4\}$ yazan öğrenci bir kök kaybetmiştir.

Diskriminant: Çözmeden Önce Sormak

$ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) denkleminin kök sayısını çözmeden öğrenebilir miyiz? Evet: $\Delta = b^2 - 4ac$ hesaplanır.

• $\Delta > 0$ ise iki farklı gerçek kök. Paspartu sorusunda $\Delta = 25^2 + 4 \cdot 150 = 1225 = 35^2$ çıktı; kökler $\dfrac{-25 \pm 35}{2}$, yani 5 ve $-30$.
• $\Delta = 0$ ise çakışık kök. $x^2 - 6x + 9 = 0$ için $\Delta = 36 - 36 = 0$ ve $x = 3$.
• $\Delta < 0$ ise gerçek kök yok. $x^2 - 4x + 7 = 0$ için $\Delta = 16 - 28 = -12$.

Δ tam kare çıkarsa (1225 gibi) kökler rasyoneldir; bu, çarpanlara ayırmayı denemeye değer olduğunun işaretidir.

Kökleri Bulmadan Toplam ve Çarpım

$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ ve $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$.

$2x^2 - 10x + 8 = 0$ için kökler toplamı $-\dfrac{-10}{2} = 5$, çarpımı $\dfrac{8}{2} = 4$. Kökler gerçekten 1 ve 4'tür. $3x^2 + 6x - 9 = 0$ için çarpım $\dfrac{-9}{3} = -3$; kökler 1 ve $-3$.

Ters yönde de çalışır. Kökleri 2 ve $-5$ olan denklem: toplam $-3$, çarpım $-10$, yani $x^2 + 3x - 10 = 0$. Kontrol: $(x - 2)(x + 5) = x^2 + 3x - 10$.

Formüldeki eksi işareti en çok unutulan parçadır; $2x^2 - 10x + 8$ için toplamı $-5$ yazan öğrenci şıklarda kendi yanlışını hazır bulur.

Denklemin Grafiği: Parabol

$f(x) = x^2 - 6x + 5$ fonksiyonunun grafiği bir paraboldür. Kökleri, grafiğin $x$ eksenini kestiği yerlerdir: $(x - 1)(x - 5) = 0$, yani 1 ve 5.

Tepe noktasının apsisi $r = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{6}{2} = 3$, ordinatı $f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$. Tepe $T(3, -4)$. Dikkat edin: 3, iki kökün tam ortası. Parabol $x = 3$ doğrusuna göre simetriktir; kökleri $-1$ ve 7 olan bir parabolün simetri ekseni de $x = \dfrac{-1 + 7}{2} = 3$ olur.

Baş katsayı $a > 0$ ise kollar yukarı bakar ve tepe en küçük değerdir; $a < 0$ ise kollar aşağı bakar ve tepe en büyük değerdir. $f(x) = -x^2 + 4x + 1$ için $r = 2$ ve en büyük değer $f(2) = 5$.

Yukarı atılan bir topun yüksekliği $h(t) = -5t^2 + 20t$ metre ise top $t = -\dfrac{20}{2 \cdot (-5)} = 2$ saniye sonra en yüksektedir: $h(2) = -20 + 40 = 20$ m. Kökler 0 ve 4; top 4. saniyede yere döner.

Sınav ipucu: "İşaret tablosu" sorularında kökler arasındaki bölge, baş katsayının işaretinin tersini alır. $(x - 1)(x - 4)$ için $1 < x < 4$ aralığında değer negatiftir.

Sık sorulanlar